Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

More documents

Recommendations

Info

88 Z. ABDELALI D’où 3) On a f( π 2 π ( 2 )3−π2 π 2 12 ∞ π (−1) ) = S(f)( ) = 2 n=1 n n3 = − ∞ D’après Parseval p=0 π 1 2π −π (−1) p (2p+1) 3 , ainsi ∞ p=0 | x3 − π2x | 12 2 dx = 1 2 sin(n π ∞ (−1) ) = 2 p=0 2p+1 (−1) p (2p+1) 3 = 3π3 8·12 ∞ n=1 (2p+1) 3 sin((2p + 1) π ∞ ) = 2 = π3 32 . | (−1)n n 3 | 2 d’où ∞ n=1 1 1 = n6 945 π6 . p=0 (−1) 2p+1 (−1) p (2p+1) 3 . Exercice 3. 1) f n’est autre que le carré d’une fonction primitive de t ↦→ e−t2, qui est contnue sur IR, donc f est de classe C1 sur IR, de plus f ′ (x) = 2( x 0 e−t2dt)e−x2 . On a • l’application (x, t) ↦→ e−x2 (1+t 2 ) 1+t2 , est définie et continue sur IR × [0, 1], • ∂ e ∂x −x2 (1+t 2 ) 1+t2 −2xe −x2 (1+t 2 ) existe et continue sur IR × [0, 1], donc d’après Leibniz g est de classe C 1 sur IR et on a g ′ (x) = 1 0 −2xe−x2 (1+t 2 ) dt. Le changement de variable u = xt permet d’avoir g ′ (x) = x 0 −2e−x2 −u 2 du = −f ′ (x). Ainsi pour tout x ∈ IR, (f + g) ′ (x) = 0. 2) On a 0 ≤ g(x) = e −x2 1 0 lim g(x) = 0. x→∞ e −x2 t 2 1+t 2 dt ≤ e −x2 1 0 1 1+t2 dt = e−x2 π 4 . On a lim x→∞ e−x2 π 4 3) L’application h(x) = f(x) + g(x) est constante sur IR, h(0) = 0 + 1 Donc | ∞ 0 e−t2 ∞ 0 e−t2dt = √ π 2 . dt| = lim x→∞ f(x) = lim x→∞ 0 = = 0, donc 1 1+t 2 dt = π 4 . f(x) + g(x) = π 4 . Or ∞ 0 e−t2 dt ≥ 0, donc Exercice 4. Posons f(x, t) = e −tx sin(t) t . On a |e −tx sin(t) t | ≤ e −tx et ∞ 0 e−tx dt existe pour tout x > 0, d’où F est définie sur ]0, ∞[. De plus pour x = 0, F (0) = ∞ 0 intégration par parites permet de conclure) d’où F est définie sur [0, ∞[. sin(t) dt existe (une t 1) i) Soit a > 0, pour (x, t) ∈]a, ∞[×]0, ∞[, ∂ ∂xe−tx sin(t) existe et continue, | t ∂ ∂xe−tx sin(t) | = t |e−tx sin(t)| ≤ e−ta et ∞ 0 e−tadt est convergente. Donc F est de classe C1 sur ]a, ∞[, pour tout a > 0, d’où elle est de classe C 1 sur ]0, ∞[. ii) Par une intégration par parties deux fois on trouve que F ′ (x) = − 1 1+x 2 . D’où il existe une constante λ, telle que pour tout x > 0, F (x) = λ − arctan(x). iii) On a pour tout x > 0, |F (x)| ≤ ∞ 0 |e −tx sin(t) t |dt ≤ ∞ ainsi 0 = lim (λ − arctan(x)) = λ − x→∞ π π . D’où λ = 2 2 . 0 e−txdt = 1 x . Donc lim F (x) = 0, x→∞
2) i) On a F (x) = ∞ n=0 s = t − nπ, permet d’avoir nπ+π nπ nπ+π nπ <strong>Cours</strong> d’Analys 4, SM3-SMI3 e−tx sin(t) dt. Pour tout n ∈ IN, le changement de variable t e −tx sin(t) t dt = π 0 e−(s+nπ)x sin(s+nπ) s+nπ ds = e−nπx π 0 e−sx sin(s+nπ) s+nπ ds = (−1) n e −nπx π 0 e−sx sin(s) s+nπ ds = (−1)n un. ii) Il est clair que (un)n est décroissante, en n, et positive, de plus pour n ≥ 1 et x ≥ 0, on a un ≤ 1 ∞ → 0. D’ù F (x) = (−1) n nun est une s´rie alternée. n=0 iii) Une application directe du théorème de continuité <strong>des</strong> intégrales simples dépendants d’un parametre, assure que un est continue sur [0, ∞[. De plus pour tout x ≥ 0, un(x) ≤ 1 n . D’où la série converge uniformément sur [0, ∞[, ainsi F est continue sur [0, ∞[. iv) On a ∞ 0 sin(t) t dt = F (0) = lim x→0 π x→0 +( 2 + F (x) = lim π π − arctan(x)) = − arctan(0) = 2 2 . 89
Page 1:
Université Mohammed V Faculté des
Page 5 and 6:
Table des matières Chapitre 1. Not
Page 7 and 8:
CHAPITRE 1 Notions sur la topologie
Page 9 and 10:
Démonstration. Exercice. Cours d
Page 11 and 12:
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 Exempl
Page 13 and 14:
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 1) Pou
Page 15 and 16:
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 Coroll
Page 17 and 18:
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 c) Vé
Page 19:
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 4) Pou
Page 22 and 23:
22 Z. ABDELALI Définition 2.2. 1)
Page 24 and 25:
24 Z. ABDELALI Proposition 2.3. Une
Page 26 and 27:
26 Z. ABDELALI Démonstration. Il e
Page 28 and 29:
28 Z. ABDELALI Corollaire 2.4. (Rè
Page 30 and 31:
30 Z. ABDELALI les termes générau
Page 32 and 33:
32 Z. ABDELALI Attention 2.3. En g
Page 34 and 35:
34 Z. ABDELALI x > 0. 2) En déduir
Page 36 and 37:
36 Z. ABDELALI Exercice 1. • 0
Page 38 and 39: 38 Z. ABDELALI 4) D’après la for
Page 40 and 41: 40 Z. ABDELALI par suite x + y2 ≤
Page 42 and 43: 42 Z. ABDELALI 1.3. Notions de topo
Page 44 and 45: 44 Z. ABDELALI Donc bn ∈ B(a,r).
Page 46 and 47: 46 Z. ABDELALI Proposition 3.5. Soi
Page 48 and 49: 48 Z. ABDELALI Remarque 3.5. 1) Il
Page 50 and 51: 50 Z. ABDELALI x∞ = max 1≤i≤n
Page 52 and 53: 52 Z. ABDELALI Démonstration. Soit
Page 54 and 55: 54 Z. ABDELALI soit · ∞ (resp.
Page 56 and 57: 56 Z. ABDELALI 2) En déduire que d
Page 59 and 60: CHAPITRE 4 Suites et séries de fon
Page 61 and 62: Ainsi f est continue en a. Cours d
Page 63 and 64: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 On a p
Page 65 and 66: lim x→∞ fn(x) = ln existe. Alor
Page 67 and 68: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 4) Mon
Page 69 and 70: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 Exempl
Page 71 and 72: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 Démon
Page 73 and 74: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 3.3. E
Page 75 and 76: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 4. Sé
Page 77 and 78: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 Soluti
Page 79 and 80: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 c) Il
Page 81: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 3) la
Page 84 and 85: 84 Z. ABDELALI Corollaire 5.1. Soit
Page 86 and 87: 86 Z. ABDELALI Exercices facultatif
Page 91 and 92: CHAPITRE 6 Calcul différentiel 1.
Page 93 and 94: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 ∆ =
Page 95 and 96: • si h1 = 0 ou h2 = 0, alors ains
Page 97 and 98: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 Propos
Page 99 and 100: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 au voi
Page 101 and 102: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 une ap
Page 103: Cours d’Analys 4, SM3-SMI3 Exerci
show all

Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?