Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

CHAPITRE 6
Calcul différentiel
1. Applications différentiables.
Dans ce paragraphe E et F désignent deux espaces vectoriels normés de dimension finie, U
un ouvert de E, f : U −→ F une application et x ∈ U.
Définition 6.1. • L’application f est dite différentiable au point x, s’il existe une
application linéaire L : E −→ F telle que
sur U.
f(x + h) − f(x) − L(h) = o(h).
• Si f est différentiable en tout point de U on dit alors que f est différentiable
Remarque 6.1. 1) L’application L de la définition est continue car elle est définie sur un
espace de dimension finie.
2) On a l’équivalence
f(x + h) − f(x) − L(h) = o(h)
f(x+h)−f(x)−L(h)
⇐⇒ lim
h→0
h
3) Si E = R, alors une application f définie d’un ouvert U de R dans F et différentiable en un
point x ∈ U si, et seulement si, elle est dérivable en x, c’est à dire f ′ f(x+t)−f(x)
(x) = lim existe.
t→0 t
Dans ce cas on peut identifie l’application L de la définition 6.1 à f ′ (x). Remarquons que le
premier membre de l’égalité précédante est une application linéaire et le deuxième membre est
un vecteur, ceci à un sens grâce à l’identification de toute application linéaire L : R → F au
vecteur L(1) de F .
= 0.
Proposition 6.1. Si f est différentiable, alors on a :
1) L’application linéaire L, de la définition 6.1, est unique, elle sera notée
Df(x), df(x), dfx ou f ′ (x).
2) f est continue au point x.
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