Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

54 Z. ABDELALI
soit · ∞ (resp. · ′ ∞) la norme infinie de E (resp. F ) par rapport à la base B (rep. B ′ ).
B(x, y) ′′ =
xiyjB(ei, fj) ′′
où M =
B(ei, fj) ′′ .
i,j
i,j
≤ x∞y ′ ∞(
B(ei, fj) ′′ )
i,j
≤ Mx∞y ′ ∞
5) Si (E, · ) est un espace normé, alors les deux applications suivantes, qui sont
réspectivement linéaire et bilinéaire, sont continues :
• S : E × E −→ E; (x, y) ↦→ x + y
• Π : R × E −→ E; (λ, y) ↦→ λ · x.
Donc si on a xn → x et yn → y dans E, et λn → λ dans R, alors λn · xn + yn → λ · x + y.
VIII. Si E1, E2,..., Ep, des espaces vectoriels normés de dimension finie.
1) On peut définir par récurrence l’espace normé produit
E1 × E2 × · · · × Ep.
2) De même on a toute application p-linéaire
f : E1 × E2 × · · · × Ep −→ F,
où F est un espace normé, vérifie pour un certain M > 0,
f(x1, x2, ..., xp)F ≤ Mx1E1x2E2 · · · xpEp
pour tout (x1, x2, ..., xp) ∈ E1 × E2 × · · · × Ep. Donc f est continue.
3) Comme conséquence on a le déterminant dét : Mp(IR) −→ R est une application
continue.
4) Le goupe linéaire GLp(IR) = dét −1 (IR ∗ ) est un ouvert dans Mp(IR).