Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
4) Montrer que ζ est de classe C ∞ (ind. par récurrence en donnant l’expression de la dérivée
k-ième).
5) i) Dire pour quoi la limite l = lim ζ(x) existe dans R ∪ {+∞}.
x→1 +
ii) Comparer ζ(x) et la somme partielle d’ordre n de la série au point x, x > 1, et déduire que
l = ∞.
Solution. 1) Pour tout x ∈ R, ζ(x) est une série de Riemann, donc elle converge si, est
seulement si, x > 1. Ainsi D(ζ) =]1, ∞[.
2) i) On a pour tout x ∈ [a, ∞[, 1
n x ≤ 1
n a et on a a > 1, donc ∞
converge normalement, par suite uniformément sur [a, ∞[.
n=1
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1
na converge. Donc ζ
ii) D’abord les fonctions x ↦→ 1
n x , n ∈ N ∗ est continue sur ]1, ∞[. De plus pour tout compact
K ⊆]1, ∞[, on a pour a = min K, K ⊆ [a, ∞[. Ainsi ζ converge uniformément sur K. D’où
d’après le cours ζ est continue sur ]1, ∞[.
iii) On a pour tout n ∈ N∗ 1 , lim
x→∞ nx égale à 0 si n > 1 et elle est égale à 1 si n = 1. De plus on
a ζ converge uniformément sur [2, ∞[. Donc
lim ζ(x) =
x→∞
∞ 1
lim = 1.
x→∞ nx n=1
3) On a pour tout n ∈ N ∗ , 1
n x est dérivable sur ]1, ∞[ et on a
( 1
n x )′ = (exp(−x ln(n))) ′ = − ln(n) exp(−x ln(n)) =
Pour tout x ∈]a, b[, 1 < a < b, |( 1
n x ) ′ | ≤ | ln(n)
n a |, la série de Bertrand ∞
n=1
− ln(n)
n x
| ln(n)
n a | converge. Donc la
série ∞
( 1
nx ) ′ converge normalement, donc uniformément, sur ]a, b[, de plus ζ converge sur un
n=1
point, quelconque de ]a, b[, d’où d’après le cours, ζ est dérivable sur ]a, b[ et ζ ′ (x) = ∞
Ceci reste vrai sur ]1, ∞[.
3.1. Définitions et propriétés.
3. Séries entières.
n=1
− ln(n)
nx .
Définition 4.5. Une série entière est une série de fonction définie sur une partie de R (ou
C) qui est de la forme S(x) =
anxn , où (an)n est une suite réelle ou complexe.
n