Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

CHAPITRE 2
Séries numériques
1. Suites dans C.
Une suite complexe est une application de N dans C. Toutes les propriétés des suites réelles,
autres que celles qui dépendent de l’ordre, restent vrais pour les suites complexes. Dans le
reste de ce paragraphe, et sauf montion explicite du contraire, toutes les suites considérées sont
complexes.
Définition 2.1. Une suite complexe (un)n est dite convergente vers un élément
l ∈ C si la suite réelle (|un − l|)n converge vers zéro.
Soit (un)n une suite complexe et soit, pour tout n ∈ N, an (resp. bn) la partie réelle (resp.
imaginaire) de un. Donc on a pour tout entier n, un = an + ibn. Avec ces notations on a
si
Donc
Proposition 2.1. (un)n convergente vers une limite l = a + ib ∈ C si, et seulement
Démonstration. On a pour tout n ∈ N,
lim
n→∞ an = a et lim bn = b.
n→∞
|an − a| ≤ |un − l| et |bn − b| ≤ |un − l|.
lim
n→∞ |un − l| = 0 =⇒ lim an = a et lim bn = b.
n→∞ n→∞
Réciproquement, si lim
n→∞ |an − a| = lim
n→∞ |bn − b| = 0, alors lim
n→∞ |an − a| 2 + |bn − b| 2 = 0, c’est à
dire que lim
n→∞ |un − l| = 0.
2. Séries numériques.
Soit (un)n∈N une suite numérique et pour chaque n ∈ N soit Sn = u0 + · · · + un la somme
de n + 1 premiers termes de cette suite. Alors on a
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