Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

24 Z. ABDELALI
Proposition 2.3. Une série
un est convergente si, et seulement si elle vérifie
le critère de Cauchy suivant :
n
∀ε > 0, ∃N ∈ N : ∀m > n ≥ N, |
m
k=n+1
uk| < ε.
Démonstration. Découle du critère de Cauchy pour la suite ( n
uk)n.
Proposition 2.4. Si une série
Démonstration.
n
lim
n→∞ un = lim
k=0
un converge, alors lim
n→∞ un = 0.
n→∞ ( n
= lim
n→∞
=
k=0
k=0
uk − n−1
uk)
k=0
n−1
uk
n→∞
k=0
n
uk − lim
∞
uk − ∞
uk = 0.
k=0
Attention 2.1. La réciproque de la proposition 2.4 n’est pas vraie en général. Voici deux
exemples :
1) Soit la série
∞
n=1
n + 1
ln(
n ).
Le terme général de cette série converge vers zéro. Mais
n
ln(
k=1
k+1
n
) = ln(k + 1) − ln(k)
k
k=1
= ln(n + 1) → ∞.
2) Un exemple remarquable est donné par la série harmonique
Le terme général de cette série est 1/n qui converge vers zéro. Mais on a
n
1
n .
k=0
S2n − Sn = 1 1
1
+ + · · · + n+1 n+2 2n
≥ 1 1
+
2n 2n
n termes
= n · 1
2n
= 1
2 ,
+ · · · + 1
2n
donc la série harmonique ne vérifie pas le critère de Cauchy donc elle est divergente.