Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
Solution de la série 4.
Exercice 1. Nous supposons toujours que x ∈ [0, 1]. 1) • Il est simple de voir que Pn est
un polynôme (il est de degré 2 n−1 , n ≥ 1.
• Par récurrence, Supposons que Pn(x) ≤ √ x. On a √ x − Pn+1(x) = ( √ x − Pn(x))(1 −
1
2 (√x + Pn(x))). Or √ x − Pn(x) ≥ 0 et 1 − 1
2 (√x + Pn(x)) ≥ 1 − 1
√ x − Pn+1(x) ≥ 0.
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2 (√ x + √ x) ≥ 0. D’où
• Pn+1(x) − Pn(x) = 1
2 (x − (Pn(x)) 2 ). Par récurrence, en montre que Pn(x) ≥ 0. Donc x −
(Pn(x)) 2 ≥ 0. D’où Pn+1 ≥ Pn(x).
2) Pour x ∈ [0, 1], la suite numérique (Pn(x))n est croissante majotée donc elle converge
vers un limite l. De plus il découle de Pn+1(x) = Pn(x) + 1
2 (x − (Pn(x)) 2 ), que l = l + 1
2 (x − l2 ),
de plus on a l ≥ 0, donc l = √ x.
sup
x∈[0,1]
3) Voir les indications.
4) L’étude des variations de x ↦→ 2√ x
2 √ x
2+n √ x = 2√ 1
2+n √ 1
2+n √ x
2 = . D’où lim
2+n n→∞ sup |
x∈[0,1]
√ x − Pn(x)| = 0.
Exercice 2. Pour n ∈ IN ∗ , posons gn(x) = ( 1
n )2 exp(−nx 2 ).
, sur [0, 1] (où directement), permet de voir que
1) gn est définie et continue sur IR et |gn(x)| ≤ 1
n 2 . Donc la série converge normalement,
donc uniformément, sur IR, ainsi g est définie et continue sur IR.
2) gn est de classe C 1 sur IR et g ′ n(x) = − 2x
n e−nx2
L’étude des variations de x ↦→ 2x
n e−nx2
. Calculons le sup |g
x∈IR
′ n(x)| = sup
x∈IR +
2x
n e−nx2.
sur IR + , montre que le sup est atteint au point x = 1
√ 2n .
Donc sup |g
x∈IR
′ n(x)| = |g ′ n( 1 √ )| =
2n √ 2
n3/2 e−1/2 . Donc h(x) = ∞
g
n=1
′ n(x) converge normalement sur IR
donc elle est continue. De plus on a g(0) converge, donc d’après le cours pour tout intervalle
] − r, r[, r > 0, g est dérivable et g ′ (x) = h(x). Donc g est de classe C 1 sur ] − r, r[, r > 0,
ainsi elle est de classe C 1 sur IR.
Exercice 3. Posons fn(x) = exp(−λnx). 1) • Pour x ≤ 0, fn(x) ≥ 1, donc le terme général
de la série ne tend pas vers zéro, d’où la série diverge.
• Si x > 0, la suite (fn(x))n est décroissante, positive et elle converge vers zéro, ainsi la série
est une série alternée onc elle converge. D’où le domaine de définition de f est ]0, ∞[.
2) Soit α > 0, la série converge simplement sur [α, ∞[. De plus, d’après le théorème de la
majoration du reste |f(x)− n
(−1) nfn(x)| ≤ fn+1(x) ≤ fn+1(α) → 0. Ainsi on a la convergence
uniforme sur [α, ∞[.
k=1