Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

70 Z. ABDELALI
Corollaire 4.3. (Continuité) Toute série entière est continue sur son disque ouvert de
convergence
Démonstration. Soit R le rayon de convergence d’une telle série. Si R = 0 on a rien à
démontrer. Si R > 0, alors pour tout compact K ⊆ {x ∈ K : |x| < R} on a r = max
K |k|
existe donc r < R et K ⊆ {x ∈ K : |x| ≤ r}. D’où la série entière converge normalement,
donc uniformément, sur K. De plus les fonctions qui déterminent la série sont continues sur
{x ∈ K : |x| < R}, d’où la série est continue sur {x ∈ K : |x| < R}.
Proposition 4.17. (Primitive) Tout série entière f(x) =
anxn de rayon de convergence
Rf > 0, possède une primitive sur ] − Rf, Rf[. De plus toute primitive F de f est donnée par
F (x) = F (0) + ∞ an−1
n xn , c’est une série entière de même rayon de convergence que f,
n=1
c’est à dire RF = Rf.
Démonstration. Exercice (elle découle aussi de la proposition suivante).
Proposition 4.18. (Dérivation) Tout série entière f(x) =
anx
n
n de rayon de convergence
Rf > 0, est dérivable sur ] − Rf, Rf[ et sa dérivé f ′ (x) =
(n + 1)an+1xn est une série
entière sur R de même rayon de convergence, c’est à dire Rf ′ = Rf.
Démonstration. pour tout r ∈]0, Rf[, soit s ∈]r, Rf[, on a pour n assez grand n+1 r ( s s )n ≤ 1,
donc |(n + 1)an+1rn | = |an+1sn+1 | · | n+1 r ( s
donc
n
n
s )n | ≤ |an+1sn+1 |. La série
|an+1sn+1 | converge
n
(n + 1)an+1r
n
n , converge absolument d’où
(n + 1)an+1x
n
n et de rayon de convergence
Rf ′ ≥ Rf et il est évident que Rf ′ ≤ Rf. Ainsi la série des dérivées converge normalement,
donc uniformément, sur tout intervalle ] − r, r[, avec r ∈]0, Rf[. On a f(0) converge donc f est
dérivable sur ] − r, r[ et on a f ′ (x) =
(n + 1)an+1xn . Donc ceci reste vrai sur ] − Rf, Rf[.
n
Corollaire 4.4. (Classe C∞ ) Tout série entière f(x) =
anxn de rayon de convergence
n
Rf > 0, est de classe C∞ sur ] − Rf, Rf[ et on a pour tout k ∈ N∗ ,
f (k) (x) =
(n + k) · · · (n + 1)an+kx n =
n
n
(n + k)!
an+kx
n!
n
est une série entière sur R de même rayon de convergence, c’est à dire R f (k) = Rf.
Démonstration. Par récurrence.
Corollaire 4.5. Soit f(x) =
n
anx n une série entière, alors pour tout n ∈ N, an = f (n) (0)
n! .