Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

32 Z. ABDELALI
Attention 2.3. En général
par exemple
6.3. Séries alternées.
∞ ∞
( un) · ( vn) =
n=0
∞
(
n=0
n=0
1
2n )2 = 2 2 = 4
3 =
∞
n=0
∞
n=0
unvn
( 1
)2
2n Définition 2.6. Soit
un une série convergente, le reste d’ordre n de cette série
est la somme ∞
k=n+1
un.
n
Remarque 2.6. En général le reste d’ordre n d’une série est noté Rn, donc on a S = Sn+Rn
où S et Sn sont respectivement la somme et la somme partielle d’ordre n de la série.
Définition 2.7. Une série alternée est une série dont le terme général un est de
la forme un = (−1) n vn, où
• (vn)n est une suite décroissante,
• (vn)n est une suite positive,
• (vn)n converge vers zéro.
Remarque 2.7. Il existe d’autres définitions des série alternées la plus générale dit qu’une
série de terme général un est alternée si (−1) n un garde un signe constant. Dans une autre
définition une telle série est alternée si (−1) n un est décroissante positive.
Proposition 2.12. Toute série alternée
(−1) nvn est convergente. De plus :
1) (Formule de majoration du reste) Pour tout entier n, |Rn| ≤ vn+1.
2) La somme partielle Sn vérifie
S2n+1 ≤
n
∞
(−1) n vn ≤ S2n.
De plus les deux suites (S2n+1)n et (S2n)n sont adjacentes.
n=0
Démonstration. Posons pour tout n ∈ N,
an = S2n+1 et bn = S2n.