Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

48 Z. ABDELALI
Remarque 3.5. 1) Il est évident que convexe =⇒ étoilé =⇒ connexe pae arcs.
Vérifions par exemple que étoilé =⇒ connexe par arcs. Soit A un ensemble étoilé par rapport
à un point a, soit (b, c) ∈ A 2 on a [b, a] ∪ [a, c] ⊆ A. Le segment [b, a] est l’image de [0, 1] par
l’application continue f(t) = (1 − t)b + ta (resp. g(t) = (1 − t)a + tc). Soit
⎧
⎨ f(2t) si t ∈ [0,
h(t) =
⎩
1
2 ]
g(2t − 1) si t ∈] 1,
1] 2
L’application h est continue sur [0, 1], h(0) = b, h(1) = c et h([0, 1]) = [b, a] ∪ [a, c] ⊆ A.
2) Dans R 2 un cercle, non réduit à un point, est un connexe par arcs qui n’est pas étoilé.
3) Dans R 2 , [(0, 0), (1, 0)] ∪ [(0, 0), (0, 1)] est étoilée par rapport à (0, 0), mais elle n’est pas
convexe.
Proposition 3.8. Les connexes par arcs de R sont les intervalles
Démonstration. D’abord tout intervalle est convexe donc il est connexes par arcs. In-
versement, si I est un connexes par arcs dans R. Pour tout (a, b) ∈ I 2 , a ≤ b, il existe une
application continue f : [0, 1] −→ I telle que f(0) = a et f(1) = b. Par le théorème des valeurs
intermédiaires [a, b] ⊆ f([0, 1]) ⊆ I. D’où I est un intervalle.
Proposition 3.9. L’image d’un connexe par arcs par une application continue
est un connexe par arcs.
Démonstration. Découle du fait que le composé de deux fonctions continues est une
fonction continue.
Corollaire 3.1. L’image d’un connexe par arcs par une application continue à
valeurs réelles est un intervalle.
Démonstration. Découle des deux propositions précédantes.
1.6. Parties compacts.
Définition 3.14. Soit E un espace vectoriel et Soit u = (un)n une suite dans E.
Une sous suite extraite de u est une suite de la forme (uσ(n))n où σ : N → N est
strictement croissante.