Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

42 Z. ABDELALI
1.3. Notions de topologie.
Définition 3.5. Soit (E, · ) un espace normé, alors :
• si a ∈ E et r ∈ R + l’ensemble
B f
(a,r) = {x ∈ E : x − a ≤ r}
est dite la boule fermée de centre a est de rayon r,
• si a ∈ E et r > 0 l’ensemble
B(a,r) = {x ∈ E : x − a < r}
est dite la boule ouverte de centre a est de rayon r,
• si a ∈ E et r > 0 l’ensemble
S(a,r) = {x ∈ E : x − a < r}
est dite la sphère de centre a est de rayon r.
Remarque 3.1. La boule B f
(0,1) (resp. B(0,1)) est appelée la boule unité fermée (resp.
boule unité ouverte) est elle sera notée B (resp. B f ).
Définition 3.6. Dans un espace normé (E, · ), un esemble B ⊆ E est dit borné
si {b : b ∈ B} est borné.
Remarque 3.2. 1) Un sous ensemble B d’un espace normé (E, · ) est borné si, et
seulement si il existe r > 0 tel que B ⊆ B(0,r).
2) Une réunion finie de bornés est un borné.
3) Tout sous ensemble d’un ensemble borné est borné.
4) Une suite (un)n est dite bornée si l’ensemble {un : n ∈ N} est borné.
Définition 3.7. Soit (E, · ) un espace normé.
• Un sous ensemble O de E est dit ouvert si pour tout x ∈ O, il existe r > 0 tel
que la boule ouverte B(x,r) ⊆ O.
• Un sous ensemble F de E est dit fermé si E \ F est un ouvert.
• Soient a ∈ E et V ⊆ E, on dira que V est un voisinage de a si pour un certain
réel r > 0, on a B(a,r) ⊆ V .