Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
4) Montrer que l’on peut prolonger continument Γ à R \ (−N).
5) Montrer que Γ est de classe C ∞ et donner Γ (k) (x).
Exercice 6. On considère pour x ∈ R, I(x) = ∞
0 e−t2 −x 2 /t 2
dt.
1) Montrer que I(x) est continue sur R et derivable sur R ∗ .
2) Montrer que I satisfait une équiation différentielle du premier ordre. Donner I(x).
Solution de la série 5.
Exercice 1. 1) f est paire donc bn = 0, an = 2
π
sin(x) sin(nx)dx donc
π 0
an = 2
π
π 0
2) S(f)(x) = a0
2
1
(sin(x + nx) + sin(x − nx))dx =
2
+ ∞
n=1
⎧
⎨
⎩
an cos(nx) = 2
∞ 4 + π π(1−(2p)
p=1
2 ) cos(2px).
2
π(1−n2 ) (1 + (−1)n ) si n = 1
0 si n = 1
On a f est continue sur [−π, π], f est dérivable sur ] − π, 0[∪]0, π[ est les dérivées à droite
et à gauche de f aux points −π, 0 et π existent, donc d’après Dirichclet S(f)(x) = f(x) sur
[−π, π]. D’où sur [0, π], sin(x) = 2
∞
+ π
p=1
3) La série 2
∞
+ π
p=1
ceci découle du fait que |
uniforme”). Donc
4
π(1−(2p) 2 ) cos(2px).
4
π(1−(2p) 2 cos(2px) converge normalement, donc uniformément, sur [0, π],
)
4
π(1−(2p) 2 )
cos(2px)| ≤
4
− cos(x) + 1 = x
0 sin(t)dt = x 2
0 π
= 2
∞
x + π
p=1
x
0
4
π(1−(2p) 2 )
π((2p) 2 −1)
∞ 4 + ( π(1−(2p) 2 ) cos(2pt))dt
p=1
∞
2
cos(2pt)dt = x + π
p=1
D’où pour x ∈ [0, π], cos(x) + 2
∞ 2
x = 1 − π π(1−(2p)
p=1
2 )p sin(2pt).
(On peut appliquer aussi ”Dirichlet
2
π(1−(2p) 2 )p sin(2pt)
Exercice 2. 1) f est impaire donc an = 0, n ∈ IN, bn = 2
π x
π 0
3−π2x cos(nx)dx. Par une
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des intégrations par partie on trouve bn = cos(nπ)
n 3
2) i) S(f)(x) = ∞
n=1
(−1) n
n 3
sin(nx).
= (−1)n
n 3 .
ii) f est de classe C 1 sur [−π, π] donc d’après Dirichlet f = S(f).
iii) f est de classe C 1 sur [−π, π], donc d’après Dirichlet uniforme on a S(f) converge
uniformémement vers f.
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