Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

56 Z. ABDELALI
2) En déduire que dans (IR 3 , · 2) si x ∈ IR 3 , et A est une droite ou un plan dans IR 3 ,
alors il existe a ∈ A tel que d(x, a) = d(x, A).
Exercice 6. Soient dans (IR 2 , · ∞), A = {(x, y) ∈ IR 2 : x ≥ 0, xy = 1} et B = IR × {0}.
1) Vérifier que A et B sont deux fermés disjoints.
2) Vérifier que d(A, B) = 0.
Exercice 7. Soit dans C la sphère unité dans (IR 2 , ·2). Soit f : C −→ IR une application
continue.
1) Montrer que l’image de f est un intervalle fermé.
2) Montrer que f n’est pas injective (ind. considérer l’ensemble C \ {a} où f(a) est un
point situé à l’intérieur de f(C), puis dire si f(C \ {a}) est connexe par arcs).
En déduire que f −1 est continue.
Exercice 8. Soit (E, · ) un espace normé de dimension finie, (F, · ′ ) un espace normé
et L : E −→ F une application linéaire.
1) Soit f : B(0, r) −→ F , r > 0, une application telle que f(x)−L(x) ′ = o(x), montrer
que f est continue en zéro.
2) Supposons que f est la restriction d’une application linéaire G, montrer que L = G.
Exercices facultatifs
Exercice 1. Soit (E, · ) un espace normé et soit d la distance associée à · . On rappel
que pour x ∈ E et A ⊆ E, on a d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}.
1) Montrer que : d(x, A) = 0 ⇐⇒ x ∈ A.
2) Montrer que l’application fA : E −→ IR; x ↦→ d(x, A) est continue.
3) Soit F1 et F2 deux sous ensembles non vides, fermés et disjoints.
i. Définissons sur E la fonction :
f : x ↦→
d(x, F2)
d(x, F1) + d(x, F2)
Montrer que f est une application continue, f(E) ⊆ [0, 1], f(F1) = {0} et f(F2) = {1}.
ii. Déduire qu’il existe deux ouverts disjoints O1 et O2 tels que F1 ⊆ O1 et F2 ⊆ O2.