Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

94 Z. ABDELALI
2. Dérivées partielles et applications continument différentiables.
2.1. Dérivée suivant un vecteur. Dans ce paragraphe E et F désignent deux espaces
vectoriels normés de dimension finie, U un ouvert de E, f : U −→ F une application et
x ∈ U.
Définition 6.2. Soit h ∈ E un vecteur non nul, si la limite suivante existe
lim
t→0
f(x + th) − f(x)
,
t
alors elle sera notée Dhf(x) ou dhf(x), et appellée dérivée suivant le vecteur (ou
dérivée suivant la direction) h.
Proposition 6.2. Si f : U −→ F est une application diff´rentiable en un point
x ∈ U, alors f admet une dérivée suivant tout vecteur non nul h et on a :
dhf(x) = df(x) · h .
Démonstration. Soit h vecteur non nul de E, on a pour un certain réel r > 0, l’application
est bien définie, de plus ϕ = f ◦ g, où
ϕ : ] − r, r[−→ F
t ↦→ f(x + th)
g : ] − r, r[−→ E, t ↦→ x + th.
On a g est diff´rentiable en 0, g(0) = x ∈ U et f est diff´rentiable en x, d’où ϕ est diff´rentiable
en 0 et
Exemples 6.1. Soit
f(x+th)−f(x)
lim
t→0 t
ϕ : R 2 −→ R
⎧
⎨
(x, y) ↦→
⎩
xy 2
x 2 +y 4
= dϕ(0)
= df(x) ◦ dg(0)
= df(x) · h .
si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
Alors ϕ admet des partielles suivant toutes les directions au point (0, 0) mais elle n’est pas
différetiable au point (0, 0). En effet, soit h = (h1, h2) ∈ R 2 non nul,