Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
∆ = g(f(x) + df(x) · h + o(h)) − g(f(x))
= dg(f(x))(df(x) · h + o(h)) + o(df(x) · h + o(h))
= dg(f(x)) ◦ df(x) · h + r(h),
où r(h) = dg(f(x)).(o(h)) + o(df(x) · h + o(h)), donc
on a lim df(x) · h + o(h) = 0, donc
h→0
r(h) ≤ dg(f(x)).(o(h)) + o(df(x) · h + o(h))
Posons s(h) = o(df(x) · h + o(h)), donc
≤ dg(f(x)) · o(h) + o(df(x) · h + o(h)),
ε(df(x) · h + o(h)) = ε1(h).
s(h) = df(x) · h + o(h)ε(df(x) · h + o(h))
≤ (df(x) · h + o(h))ε(df(x) · h + o(h))
≤ (df(x) · h + ε(h)h)
×ε(df(x) · h + o(h))
≤ hε1(h).
D’où r(h) = o(h), ainsi g ◦ f est différentiable en x et d(g ◦ f)(x) = dg(f(x)) ◦ df(x).
Corollaire 6.1. Dans les conditions du théorème si les applications f et g sont
de classe C k , k ∈ N, alors g ◦ f est de classe C k .
Corollaire 6.2. Soit U un ouvert de E, supposons que f : U −→ F est
différentiable en un point x de U, si de plus f −1 existe sur un ouvert V conte-
nant y = f(x) et si elle est différentiable en y, alors df(x) est inversible et
(df(x)) −1 = d(f −1 )(y).
Démonstration. On a f −1 ◦ f = I l’application identitée, donc I = dI(x) = d(f −1 )(y) ◦
df(x). D’où (df(x)) −1 = d(f −1 )(y).
Remarque 6.3. Avec les hypothèses du corollaire précédant, les espaces E et F sont
nécessairement de même dimension.
93