Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
c) Vérifier que la suite (ungn)n converge vers x.
d) En déduire que x ∈ G, et que IR ⊆ G, conclure.
2) D’après ce qui précède ω > 0,
a) vérifier que ω ∈ G,
b) montrer que G = ω Z (Ind. s’il existe g ∈ G ∩ IR + qui n’est pas de la forme ωIN, considérer
l’élément g − [g/ω]ω).
III) Soit x ∈ IR tel que x/π est irrationnel, et soit E = {cos(nx) : n ∈ Z}.
1) Vérifier que E = {cos(g) : g ∈ G} où G = x Z + 2π Z.
2) Vérifier que G est dense dans IR.
3) Conclure que E est dense dans [−1, 1].
Exercice 6. Soit I un intervalle fermé et soit f une application contractante, c’est à dire
k-lipschitzienne 0 < k < 1. Supposons de plus que f(I) ⊆ I.
1) Soit x ∈ I, montrer (f n (x))n est une suite de Cauchy.
2) En déduire que f admet un point fixe unique.
3) Que peut on dire dans les deux cas suivants :
a) f est lipschitzienne, c’est à dire 1-lipschitzienne,
b) I n’est pas fermé.
Exercice 7. Montrer qu’une application continue sur [0, 1[ est uniformément continue si,
et seulement si, elle est prolongeable par continuité au point 1 (Ind. Si f est est uniformément
continue, soit (un)n une suite d’éléments de [0, 1[ qui converge vers 1, vérfier que (f(un))n est
de Cauchy donc elle converge vers un réel l. Soit (vn)n une suite quelconque d’éléments de [0, 1[
qui converge vers 1 vérfier que (f(vn))n converge vers l).
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