Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

3) Déduire les sommes des séries suivantes
∞
Exercice 3. Pour x ≥ 0, on pose
f(x) = (
x
0
Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
n=0
e −t2
dt) 2
(−1) n
;
(2n + 1) 3
∞
n=1
et g(x) =
1
n 6
1
0
e−x2 (1+t2 )
dt
1 + t2 1) Montrer que f et g sont de classe C 1 . Calculer la dérivée de f + g.
2) Vérifier que 0 ≤ g(x) ≤ e−x2 π.
Déduire lim g(x) = 0.
4 x→∞
3) En déduire que ∞
0 e−t2dt
= √ π
2 .
Exercice 4. Soit F la fonction dédinie sur IR + par :
F (x) =
∞
0
−tx sin(t)
e dt
t
1) En utilisons les conditions de domaination montrer que,
i) F est de classe C 1 sur ]0, ∞[.
ii) Déduire que pour x > 0, F (x) = λ − arctan(x).
iii) Vérifier que pour tout x > 0, |F (x)| ≤ 1.
Déduire la valeur de λ.
x
2) i) Vérifier que F (x) = ∞
(−1) nun où un = e−nπx π
t+nπ dt.
n=0
0 e−tx sin(t)
ii) Vérifier que la série définie dans 2), i), est une série alternée.
iii) Déduire que F est continue sur [0, ∞[.
iv) Déduire que ∞
0
sin(t) π dt = t 2 .
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