Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

22 Z. ABDELALI
Définition 2.2. 1) La suite (Sn)n est appelée série de terme général un, cette série
sera notée
un ou un.
n
2) Sn = n
uk est appelée la somme partielle d’ordre n de la série.
k=0
3) La série
un est dite convergente si la suite (Sn)n est convergente, dans ce
cas lim
n
n
uk, est alors appelée somme de la série
un, et désignée par
Sn = lim
n→∞ n→∞
k=0
∞
un ou u0 + · · · + un + · · · .
4) La série
un est dite divergente si elle n’est pas convergente.
n=0
n
Remarque 2.1. 1) On peut avoir une suite (un)n≥n0 qui n’est définie qu’à partir d’un
certain indice n0 ≥ 1. Dans ce cas la série
un est la série de terme général un, où un := 0
pour 0 ≤ n ≤ n0 − 1.
n
2) Soit (un)n≥n0 une suite. Par abus de langage, et aussi suivant certains auteurs, on va se
permettre d’utiliser la notation ∞
un pour désigner à la fois la série
un et la somme ∞
un,
n=n0
si elle existe. Mais pour éviter toute confusion, les expressions : série ∞
n
n
n=n0
un, ∞
n=n0
n=n0
un converge
(ou diverge) ..., signifient qu’il s’agit d’une série, par contre les expressions : la somme ∞
∞
n=n0
un égale à un scalaire (ou à l’infinie) ..., signifient qu’il s’agit d’une somme.
Exemples 2.1. 1) Soit r ∈ R, la série géométrique de raison r est la série
r
n
n , on a
rn converge si, et seulement si −1 < r < 1. En effet, si r ∈] − 1, 1[,
n
et
Sn =
n
r k =
k=0
Pour r = 1, Sn = n + 1, donc ∞
rk = ∞.
k=0
Pour r ≥ 1, Sn ≥ n + 1, donc ∞
r
k=0
k = ∞.
Pour r = −1,
rk diverge. En effet,
k
S2n =
S2n+1 =
1 − rn+1
1 − r =⇒
1 − (−1)2n+1
1 − (−1)
1 − (−1)2n+2
1 − (−1)
∞
k=0
= 1
r k = 1
1 − r .
= 0.
n=n0
un,