Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

44 Z. ABDELALI
Donc bn ∈ B(a,r). De plus lim
n→∞ bn = b. D’où b ∈ B(a,r). Ainsi B f
(a,r) ⊆ B(a,r), de plus B f
(a,r) est
un fermé qui contient B(a,r), d’où l’égalité.
Exercices 3.3. Soit (E, · ) un espace normé. Si A et B deux partie E, Montrer que :
1) A ∪ B = A ∪ B.
2) CA E = CAo E et CA E = CA E .
o
2) A ∩ B = A o
∩ B o
.
o
Proposition 3.3. Soit (E, · ) un espace normé et F ⊆ E. Alors on a
l’équivalence :
1) F est fermé dans E,
2) toute suite d’éléments de F qui converge dans E, sa limite est dans F .
Démonstration. Analogue a celle donner pour R, le lecteur est invité à faire la preuve
en exercice.
Exercices 3.4. Soit (E, · ) un espace normé, A ⊆ E et x ∈ E. Montrer l’équivalence :
1) x ∈ A,
2) il existe (an)n dans A telle que lim
n→∞ an = x.
3) inf{x − a : a ∈ A} = 0
1.4. Distances et topologie d’une partie d’un espace normé.
Définition 3.9. I) Soient E un ensemble non vide et d : E × E −→ R + , une
application telle que :
• d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
• d(x, y) = d(y, x), (symétrie),
• d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), (inégalité triangulaire).
On dit alors que d est une distance sur E et que (E, d) est un espace métrique.
II) Soit A un sous ensemble non vide d’un espace normé (E, · ), l’application
d : A × A → R + ; d(x, y) = x − y est dite distance associé à la norme · .
Définition 3.10. Soient (E, · ) et (F, · ′ ) deux espaces normés, A une partie de
E et B une partie de F . Soit f : A −→ B est une application :