Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

46 Z. ABDELALI
Proposition 3.5. Soit A une partie non vide d’un espace normé (E, · ) et soit
d la distance associée à · . Si de plus O une partie de A, alors les propriétés
suivantes sont équivalentes :
1) O est un ouvert de A,
2) pour tout a ∈ A, il existe r > 0 tel que
Démonstration. Exercice.
BA(a, r) = {x ∈ A : d(a, x) < r} ⊆ O
Proposition 3.6. Soit A (resp. B) une partie non vide d’un espace normé (E, ·)
(resp. (F, ·F )). Si de plus f : A −→ B une application. Alors on a l’équivalence :
1) f est continue sur A,
2) l’image réciproque de tout ouvert de B est un ouvert de A.
3) l’image réciproque de tout fermé de B est un fermé de A.
Démonstration. 1) =⇒ 2). Soit O un ouvert de b et U = f −1 (O), montrons que
U est un ouvert de A. Soit a ∈ U on a il existe une boule ouverte B(f(a),ε) dans F , telle que
B(f(a),ε) ∩B ⊆ O. La continuité de f en a entraîne que pour un certain η > 0 et pour tout x ∈ A
tel que x−aE < η, on a f(x)−f(a)F < ε, c’est à dire que f(A∩B(a,η)) ⊆ B(f(a),ε) ∩B ⊆ O.
D’où A ∩ B(a,η) ⊆ U, ainsi U est un ouvert dans A.
2) =⇒ 1). Soit a ∈ A, pour tout ε > 0, dans F la boule ouverte B(f(a),ε) est un ouvert,
donc f −1 (B(f(a),ε)) est un ouvert de A contenant a, donc il existe η > 0 tel que A ∩ B(a,η) ⊆
f −1 (B(f(a),ε)). D’où pour tout x ∈ A tel que x − aE < η on a f(x) − f(a)F < ε, ainsi f est
continue sur A par suite f est contntinue en a pour tout a ∈ A, donc f est continue sur A.
2) ⇐⇒ 3) Il suffit de remarquer que f −1 (CY B ) = Cf−1 (Y )
A .
Proposition 3.7. Soient (E, · E) et (F, · F ) deux espaces normés et
f : E −→ F
une application linéaire, alors on a l’équivalence :
1) f est continue,
2) f est continue en 0,
3) il existe M > 0 tel que pour tout x ∈ E, f(x)F ≤ MxE.
Démonstration. Les implications 3) =⇒ 1) =⇒ 2) sont évidentes. Montrons que 2)
=⇒ 3). Sinon donc pour tout n ∈ N ∗ il existe xn ∈ E, tel que f(xn)F > nxnE. Posons