Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
Exemples 4.4. 1) f(x) = 1
n! xn , on a an = 1
|an+1|
, donc lim
n! n→∞ |an|
Rf = +∞.
= lim
n→∞
1
n+1
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= 0. Donc
2) g(x) = (−1) n
n xn |an+1|
, on a lim
n→∞ |an| = 1, ainsi Rg = 1. Donc ] − 1, 1[ est l’intervalle ouvert
de convergence. De plus g(−1) diverge et g(1) converge. D’où l’intervalle de convergence est
] − 1, 1].
3) h(x) = (3 + (−1)n
n )2nxn
n
. lim (3 +
n→∞
(−1)n
n )2n = 32 , d’où Rh = 1
9 .
Attention 4.1. Soit k(x) = ∞
3nx2n . Il faut donner la représentation canonique de
n=0
k(x) = ∞
anxn . Donc a2n = 3n et a2n+1 = 0. Ici on ne peut pas appliquer les règles de la
n=0
proposition précédante. Mais pour calculer le rayon de convergence Rk de k, on applique les
règles de convergence des séries numériques. Posons un = 3nx2n
n
, on a lim |un| = 3x
n→∞
2 . Donc
k(x) converge pour 3x 2 < 1 ⇐⇒ |x| < 1
√ 3 et diverge si 3x 2 > 1 ⇐⇒ |x| > 1
√ 3 . D’où Rk = 1
√ 3
Proposition 4.15. (Somme et produit) Soit f(x) =
anxn (resp. g(x) =
bnxn ) une
série entière de rayon de convergence Rf (resp. Rg), alors on a :
1) La série somme (f + g)(x) =
(an + bn)xn est une série entière de rayon Rf+g ≥
min{Rf, Rg}.
2) La série produit (de Cauchy)
h = n
(
n
n
k=0
akbn−k)x n
est une série entière de rayon de convergence Rh ≥ min{Rf, Rg}
Démonstration. On a si x ∈ K vérifiant |x| < min{Rf, Rg}, alors f(x) et g(x) converegent
absolument. Donc, au point x, la série somme et la série produit converegent absolument.
Remarque 4.5. 1) Si Rf = Rg, alors Rf+g = min{Rf, Rg}.
2) Pour f = 0 et g(x) = x n , on a Rf = ∞ et Rg = 1, mais Rfg = ∞ > min{Rf, Rg}.
Proposition 4.16. (Convergence normale) Soit f(x) =
anxn une série entière de
rayon de convergence R > 0. Alors f converge normalement sur tout disque {x ∈ K : |x| ≤ r}
de centre zéro et de rayon r < R.
Démonstration. Soit 0 ≤ r < R, on a pour tout n ∈ N et tout x ∈ K tel que |x| ≤ r,
|anxn | ≤ |anrn |, et d’après la définition de R, la série
|anrn | converge. Ainsi f converge
normalement sur le disque {x ∈ K : |x| ≤ r}.
n
n
n
n