Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

98 Z. ABDELALI
Théorème 6.4. (fonctions implicites) Soit O un ouvert de R n × R p et soit
f : O −→ R p , (x, y) → f(x, y)
une application de classe C k , k ≥ 1, si pour un certain (a, b) ∈ O on a f(a, b) = 0,
alors il existe
• U ⊆ R n voisinage ouvert de a,
• V ⊆ R n voisinage ouvert de b,
• U × V ⊆ O,
• une unique application ϕ : U −→ V de classe C k telle que ϕ(a) = b et pour
tout x ∈ U, f(x, ϕ(x)) = 0.
Démonstration. Soit
On a Φ est de classe C k et on a
Φ : O −→ R n × R p ; (x, y) ↦→ (x, f(x, y)).
⎛
J(f)(x) = ⎝ In 0
∂f(a,b)
∂x
∂f(a,b)
∂y
donc |J(Φ)(a, b)| = |In| · | ∂f(a,b)
∂y | = 0, ainsi il existe un voisinage U ′ × V ⊆ O de (a, b) tel que Φ
est un C k –difféomorphisme de O ′ sur un voisinage ouvert de (a, 0) contenant un voisinage de
(a, 0) de la forme U × U ′ . Donc l’application
⎞
⎠
ϕ : U −→ V ; x ↦→ πR p ◦ Φ−1 (x, 0)
est de classe C k et f(x, ϕ(x)) = 0. L’unicité découle du fait que s’il existe une autre application
ψ définie de U dans V vérifiant les mêmes propriétés que ϕ alors
Exemples 6.2. Cas particuliers.
ψ(x) = πR p ◦ Φ−1 (x, f(x, ψ(x)))
= πR p ◦ Φ−1 (x, 0)
= ϕ(x).
I) Courbes dans R 2 . Soit U un ouvert de R 2 , et soit f : R 2 −→ R, une application de classe
Ck , k ≥ 1, supposons qu’il existe (a, b) ∈ U tel que f(a, b) = 0 et ∂ f(a, b) = 0. Alors il existe
∂y
un intervalle ouvert I centré en a, un intervalle ouvert J centré en b et une fonction unique
ϕ : I → J de classe C k tels que ϕ(a) = b, I × J ∈ U et f(x, ϕ(x)) = 0 pour tout x ∈ I. Donc