Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

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38 Z. ABDELALI 4) D’après la formule de majoration du reste pour les séries alternées, on a d’où 9 k=0 (−1) k k+1 | ln(2) − 9 k=0 (−1) k 1 | ≤ k + 1 10 , est une valeur approchée de ln 2 à l’ordre 1 10 .
1.1. Définition et exemples. CHAPITRE 3 Espaces vectoriels normés 1. Définitions générales. Définition 3.1. Soit E un espace vectoriel une norme sur E est une application : E −→ R + , x → x telle que 1) x = 0 ⇐⇒ x = 0, 2) x + y ≤ x + y inégalité triangulaire, 3) pour tout λ ∈ R, on a λx = |λ|x. L’espace (E, ) est appelé espace vectoriel normé. Exemples 3.1. I) Sur R n , n ∈ N, on peut définir <strong>des</strong> normes par (pour x = (x1, · · · , xn)) : Montrons, par exemple, que c’est à dire Or on a Ainsi on a • x1 = |x1| + · · · + |xn|, • x2 = |x1| 2 + · · · + |xn| 2 , norme euclidienne • x∞ = max{|x1|, · · · , |xn|}. x + y2 ≤ x2 + y2, |x1 + y2| 2 + · · · + |xn + yn| 2 = |x1| 2 + · · · + |xn| 2 +|y1| 2 + · · · + |yn| 2 +2(x1y1 + · · · + xnyn) (x 2 1 + · · · + x 2 n)(y 2 1 + · · · + y 2 n) − (x1y1 + · · · + xnyn) 2 x 1≤i
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