Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
On a pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N et tout p ∈ N,
sup |f
t∈I
′ n+p(t) − f ′ n(t)| < ε et |fn+p(c) − fn(c)| < ε.
Par suite pour tout n ≥ N, p ∈ N et tout x ∈ I,
|fn+p(x) − fn(x)| < (l + 1)ε
Donc (fn)n est uniformément de Cauchy ainsi elle est convergente uniformément vers une fonc-
tion continue f sur I. De plus pour tout (x, y) ∈ I 2 ,
|(f(y) − f(x)) −(fn(y) − fn(x))|
= lim
m→∞ |(fm(y) − fm(x)) − (fn(y) − fn(x))|
≤ lim
m→∞
• Fixons x ∈ I, pour tout y ∈ I, y = x on a
| f(y)−f(x)
y−x
|y − x| sup |f
t∈I
′ m(t) − f ′ n(t)|
= |y − x| sup |g(t) − f
t∈I
′ n(t)|.
(f(y)−f(x))−(fn(y)−fn(x))
− g(x)| ≤ | |
y−x
+| fn(y)−fn(x)
− f y−x
′ n(x)|
+|f ′ n(x) − g(x)|
≤ sup |g(t) − f
t∈I
′ n(t)|
+| fn(y)−fn(x)
y−x
+|f ′ n(x) − g(x)|.
Soit ε > 0, il existe N ∈ N tel que pour tout n ≥ N, sup
t∈I
que pour tout y ∈ I∩]x − η, x + η[, | fN (y)−fN (x)
y−x
D’où pour tout x ∈ I, f est dérivable en x.
− f ′ N
(x)| < 1
3
− f ′ n(x)|
f(y) − f(x)
|y − x| < η =⇒ | − g(x)| < ε.
y − x
|g(t) − f ′ n(t)| < 1ε.
Il existe η > 0, tel
3
ε. D’où ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀y ∈ I,
2. Différents types de convergence pour les séries de fonctions.
Soit (fn)n une suite de fonctions définie sur un ensemble non vide A. La suite de fonctions
(Sn)n, où Sn = f0 + f1 + · · · + fn, est appelée série de fonctions et elle est notée
fn.
n
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