Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

16 Z. ABDELALI
Exercice 2. Donner la nature des suites suivantes :
sin(n π
3 ),
k=0
n 2 + √ n
(n + 1) 2 cos(n π
5 )
Exercice 3. (e est irrationnel) Soient u et v les suites définies par
n 1
un =
k! et vn = 1
n! +
n 1
k!
1) Vérifier que u et v sont deux suites adjacentes.
2) Soit l leur limite commune et supposons que l est un rationnel, c’est à dire que l = p/q
pour un certain (p, q) ∈ IN × IN ∗ ,
a) dire pour quoi uq < l < vq,
b) déduire un encadrement de
c) le nombre N est-il un entier, conclure.
N = (l −
q
k=0
1
) · q!,
k!
3) En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, vérifier que pour tout entier n,
4) conclure que e est irrationnel.
|e − un| ≤
e
(n + 1)!
Exercice 4. Soit I un intervalle de IR, et soit f : I −→ IR une une application telle que
l’image de toute suite convergente est une suite convegente. Montrons que f est continue.
1) Soient x ∈ I et (un)n une suite de I qui converge vers x, construire dans I une suite
convergente (wn)n admettant (un)n et une suite constante comme deux sous suites extraites.
2) Que peut on dire de la suite (f(wn))n.
3) En déduire que la suite (f(un))n converge vers f(x), conclure.
Exercice 5. I) Vérifier que pour tout réel ω > 0, l’ensemble (ω Z, +) est un sous groupe
additif fermé de IR.
II) Soit (G, +) un sous groupe additif propre de IR, supposons de plus que G est fermé.
Posons ω = inf{g ∈ G : g > 0}.
1) supposons que ω = 0,
a) vérifier qu’il existe une suite (gn)n d’éléments de ]0, 1] ∩ G qui converge vers zéro.
b) Soit x ∈ IR + vérifier que pour tout entier n il existe un entier un tel que ungn ≤ x <
(un + 1) · gn.
k=0