Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

76 Z. ABDELALI
Exercice 4. Calculer le rayon de convergence et la somme de chacune des séries entières,
de terme général un(x), x ∈ IR, dans les cas suivants (α ∈ IR) :
n
(n ≥ 1); b) un = (−1)nxn (2n + 1)! ; c) un = nxn
(2n + 1)!
Exercice 5. (Une formule sur π découverte en 1995) Considérons pour tout entier p ≥ 1,
la série entière
a) un = xn cos(nα)
fp(x) =
∞
n=0
1) Montrer que fp converge sur ] − √ 2, √ 2[.
1
16n x8n+p 8n + p
2) En déduire que fp et de rayon de convergence Rp > 1.
3) Calculer la dérivée f ′ p.
4) En déduire que pour x ∈ [0, 1],
fp(x) =
x
0
16tp−1 dt
16 − t8 5) Calculer 4f1(1) − 2f4(1) − f5(1) − f6(1) (ind. remarquer
4−2t 3 −t 4 −t 5 = −(t−1)(t 2 +2)(t 2 +2t+2) et 16−t 8 = −(t 2 −2)(t 2 +2)(t 2 +2t+2)(t 2 −2t+2),
puis calculer l’intégrale). En déduire une formule de π.
Exercice 6. Déterminer le développement en série entière à l’origine des fonctions suivantes
en pricisant l’intervalle ouvert de convergence :
ln(1 + x)
1 + x
; e (xch(α)) ch(xsh(α)) ; e (x cos(α)) 1 + x
sin(x sin(α)) ; arctan(
1 − x tan(α))
Exercice 7. Soit f la fonction : ] − 1, 1[→ IR; x → (arcsin(x)) 2 .
1) Vérifier que f est une solution de l’équation différentielle :
(1 − x 2 )y ′′ − xy ′ = 2 (∗)
2) Déterminer toutes les séries entières solutions de (∗) sur ] − 1, 1[.
3) Justifier pourquoi f est développable en série entière sur ] − 1, 1[ et déduire son
développement.