Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

CHAPITRE 5
Intégrales dépendant d’un paramètre
1. Rappels
2. Intégrales propre dépendant d’un paramètre
Proposition 5.1. Soit f : [a, b] × [c, d] → R une application continue, alors l’application
F : [c, d] → R; t ↦→ b
f(x, t)dx est continue.
a
Démonstration. Soit t0 ∈ [c, d], pour montrer que F soit continue en t0 il suffit de montrer
que pour toute suite (un)n d’éléments de [c, d] qui converge vers t0, (F (un))n converge vers F (t0).
Pour une telle suite (un)n, posons fn : [a, b] → R; x ↦→ f(x, un) et f : [a, b] → R; x ↦→ f(x, t0),
alors (fn)n est une suite de fonctions continues. De plus, d’après le théorème de Heine,
f est uniformément continue sur le compact [a, b] × [c, d]. Fixons ε > 0, il existe η > 0,
pour tous (x, t) et (y, s) dans [a, b] × [c, d], (y, s) − (x, t)1 < η, on a |f(y, s) − f(x, t)| < ε.
Rappelons que un → t0, donc il existe N ∈ N, tel que pour n ≥ N, |un − t0| < η, donc
(x, un)−(x, t0)1 = |un−t0| < η. Ainsi ∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, ∀x ∈ [a, b], |fn(x)−f(x)| < ε.
D’où (fn)n converge uniformément vers f. D’où lim
n→∞
que lim
n→∞ F (un) = F (t0). Ainsi F contunie en tout t0 ∈ [c, d].
b
a fn(x)dx = b
a
f(x)dx, c’est à dire
2.1. Deux théorèmes à admettre. Une suite de fonction (fn)n est dite croissante sur
un ensemble A si pour tout n ∈ N et x ∈ I, fn+1(x) ≤ fn(x). La suite est dite dominée par
une fonction g si pour tout n ∈ N et x ∈ I, |fn(x)| ≤ g(x).
Théorème 5.1. (Convergence monotone) Soit (fn)n une suite de fonctions définie sur
un intervalle I, telle que :
1) (fn)n croissante sur I.
2) pour tout n ∈ N, fn est continue par morceaux sur I.
3) (fn)n converge simplement vers une fonction f continue par morceaux sur tout
ségment de I.
Alors
I
f(x)dx = lim fn(x)dx.
n→∞
I
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