Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

64 Z. ABDELALI
2.1. Conséquences.
Définition 4.3. Soit (fn)n une suite de fonctions définie sur un ensemble non vide A.
1) On dira que la série de fonctions
fn converge simplement sur A, si pour tout x ∈ A,
n
la série numérique
fn(x) est convergente.
n
2) On dira que
fn converge uniformément sur A, si elle converge simplement et on a
n
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N,
∀x ∈ A, |Rn(x)| = | ∞
k=0
fk(x) − n
fk(x)| < ε.
Remarque 4.3.
fn converge uniformément sur A, si et seulement si, la suite formée par
n
le sup sur A du reste d’ordre n, (sup |Rn(x)|)n converge vers zéro, si et seulement si, il existe
x∈A
une suite (λn)n converge vers zéro telle que pour tout x ∈ A et tout entier n, |Rn(x)| ≤ λn.
Proposition 4.6. Soit
fn une série de fonctions définie sur un ensemble non vide A.
n
Alors
fn converge uniformément si, et seulement si,
fn est uniformément de Cauchy,
n
c’est à dire elle vérifie le critère de la convergence uniforme :
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N, ∀p ∈ N,
n
k=0
∀x ∈ A, |fn+1(x) + fn+2 + · · · + fn+p(x)| < ε.
Proposition 4.7. Soit
fn une série de fonctions continues en un point a d’une partie A
n
de K, supposons de plus que
fn converge uniformément sur A, alors ∞
fn est continue en
a.
n
Corollaire 4.2. Soit
fn une série de fonctions continues sur une partie non vide A de
n
K, supposons de plus que (fn)n converge uniformément sur A, alors ∞
fn est continue sur A.
Proposition 4.8. (double limite) Soit
fn une série de fonctions qui converge uni-
n
formément sur une partie non vide A de K et soit a ∈ A. Supposons de plus que pour tout
n ∈ N, lim fn(x) = ln
x→a
∞
existe. Alors les limites lim fn(x) et
x→a n=0
∞
égales. C’est à dire que
∞
∞
lim fn(x) = lim
x→a
x→a
ln
n=0
existent et elles sont
fn(x)
n=0
n=0
Proposition 4.9. (Double limite) Soit
fn une série de fonctions qui converge uni-
n
formément sur un intervalle A = [a, +∞[ ou ] − ∞, a]. Supposons de plus que pour tout n ∈ N,
n=0
n=0