Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
Corollaire 1.2. Toute application continue d’un compact de R dans R est bornée
et elle atteint ses bornes.
Démonstration. Exercice.
Définition 1.11. Soit f : A −→ R une application, on dit que f est uniformément
continue sur A si
∀ε > 0, ∃η > 0 : ∀x, y ∈ A, |x − y| < η
=⇒ |f(x) − f(y)| < ε.
Remarque 1.7. 1) Soit f : A −→ R une application, si f est uniformément continue sur
un ensemble A, alors f est continue sur A.
2) L’application f : R −→ R; x ↦→ x 2 est continue sur R, mais elle n’est pas uniformément
continue sur R.
3) L’application f : ]0, 1[−→ R; x ↦→ x −1 est continue sur ]0, 1[, mais elle n’est pas
uniformément continue sur ]0, 1[.
Théorème 1.3. (de Heine) Toute application continue sur un ensemble fermé
borné est uniformément continue.
Démonstration. Supposons que E est un fermé borné et que f est continue mais non
uniformément continue. Il existe ε > 0 tel que pour tout entier n > 1, il existe xn, yn ∈ E
vérifiant |xn − yn| < 1/n et |f(xn) − f(yn)| ≥ ε.
Il existe une sous suite extraite (xσ(n))n de (xn)n qui converge vers un élément l ∈ E.
On a |xn − yn| < 1/n, donc (yσ(n))n converge vers l.
La fonction f est continue au point l, donc (f(xσ(n)))n et (f(yσ(n)))n converge vers f(l), ceci
contredit le fait que |f(xσ(n)) − f(yσ(n))| ≥ ε, n ∈ N.
Exercice 1. Soit u = (un)n une suite.
6. Série n o 1
1) Vérifier que si les deux sous suites extraites (u2n)n et (u2n+1)n convergent vers une même
limite, alors u est convergente.
2) Vérifier que si les sous suites extraites (u2n)n, (u2n+1)n et (u n 2)n convergent, alors u est
convergente.
3) Vérifier que si les sous suites extraites (u3n)n, (u3n+1)n et (u3n+2)n convergent, alors u
est convergente.
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