Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
Exemples 1.1. L’espace Q n’est pas complet.
4. Notions sur la topologie de R.
4.1. Voisinages, ouverts et fermés dans R.
Définition 1.4. Soit x ∈ R, un voisinage V de x est un sous ensemble de R
contenant un intervalle centré en x.
Remarque 1.4. 1) Un ensemble V est un voisinage d’un élément x si, et seulement si, V
contient un intervalle ouvert contenant x.
2) Si V est un voisinage de x et W ⊃ V , alors W est un voisinage de x.
3) Une intersection finie de voisinage de x est un voisinage de x.
4) Une réunion quelconque de voisinages de x est un voisinage de x.
Définition 1.5. 1) Un sous ensemble O de R est dit ouvert s’il est voisinage de
chaqun de ses points.
2) Un sous ensemble F de R est dit fermé si son complémentaire R \ F est un
ouvert.
Exemples 1.2. 1) L’ensemble R et l’ensemble vide sont des ouverts et des fermés.
2) Les ouverts sont stables par réunion quelconque et par les intersections finies.
3) Un intervalle ouvert est un ouvert.
4) Une réunion quelconque d’intervalles ouverts est un ouvert.
5) Un intervalle fermé est un fermé. En effet, R \ [a, b] =] − ∞, a[∪]b, ∞[ est un ouvert.
6) Un singleton est un fermé.
7) Un ensemble fini est un fermé.
8) L’ensemble Z est un fermé dans R.
Exercices 1.4. Soit E un sous ensemble de R.
1) Montrer que l’ensemble F des fermés de R contenant E est non vide et
petit fermé contenant E.
2) Montrer que l’ensemble O des ouverts de R contenus dans E est non vide et
le plus grand ouvert contenu dans E.
Définition 1.6. 1) L’intérieur d’un ensemble E, noté E o
contenu dans E.
F ∈F
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F est le plus
O∈O
O est
est le plus grand ouvert
2) L’adhérence d’un ensemble E, noté E est le plus petit fermé contenant E.