Cours d'Analyse 4 - Faculté des Sciences Rabat

Cours d’Analys 4, SM3-SMI3
yn = 1
nxnE xn, on a lim
n→∞ ynE = 0 donc lim
n→∞ yn = 0. Mais
f(yn)F =
1
f(xn)F > 1.
nxnE
Ainsi (f(yn))n ne converge pas vers 0, ce qui est absurde.
Exercices 3.5. Soit (E, · ) un espace normé. Soit · ′ une autre norme sur E. Montrer
que les propriétés suivantes sont équivalentes :
1) · ′ est continue sur E,
2) · ′ est continue en zéro,
3) il existe un réel M > 0 tel que pour tout x dans E, x ′ ≤ Mx.
Définition 3.12. Sur un espace vectoriel E deux normes · et · ′ sont dites
équivalentes si il existe deux réels M et N strictement positifs tels que pour tout
x ∈ E,
Nx ≤ x ′ ≤ Mx.
Exemples 3.3. 1) Sur R n les normes · ∞, · 1 et · 2 sont équivalentes. En effet,
· ∞ ≤ · 2 ≤ · 1 ≤ n · ∞
2) Sur R[X] les normes · ∞ et · 1 ne sont pas équivalentes. En effet, pour Pn = n
Xk ,
on a Pn1 = n et Pn∞ = 1. Donc on ne peut pas avoir Pn1 ≤ MPn1, pour tout n.
Remarque 3.4. Deux normes équivalentes sur un espace vectoriel définissent les mêmes
ouverts, les mêmes fermés, les mêmes bornés, les mêmes suites de Cauchy et les mêmes suites
convergentes.
1.5. Parties connexes par arcs.
Définition 3.13. Soit E un espace normé de dimension finie. Une partie non vide
de A de E est dite
1) convexe si pour tout (a, b) ∈ A 2 , le segment [a, b] := {(1 − t)a + tb : 0 ≤ t ≤ 1}
est contenu dans A ;
2) étoilée par rapport à un point a de A, si pour tout b ∈ A, [a, b] ⊆ A ;
3) connexe par arcs si pour tout (a, b) ∈ A 2 , il existe une application continue
f : [0, 1] −→ E telle que f(0) = a et f(1) = b.
k=1
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