Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 10. DUALIDADE 10110.2 Relações entre os problemas primal e dualNesta seção daremos relações importantes entre os problemas primal e dual.Teorema 10.2 (da Dualidade Fraca). Seja dado um problema primal na forma canônica P 1 eseu dual D 1 . Se x 0 e w 0 são pontos viáveis de P 1 e D 1 , respectivamente, entãocx 0 ≥ w 0 b.Ou seja, a FO do dual fornece um limitante inferior para a FO do problema primal de minimizaçãona forma canônica.Demonstração. Temos Ax 0 ≥ b, x 0 ≥ 0, w 0 A ≤ c e w 0 ≥ 0. Multiplicando Ax 0 ≥ b aesquerda por w 0 ≥ 0 e w 0 A ≤ c a direita por x 0 ≥ 0, obtemoscx 0 ≥ w 0 Ax 0 ≥ w 0 b.Corolário 10.3. Considere x 0 e w 0 como no Teorema 10.2. Se cx 0 = w 0 b então x 0 e w 0 sãosoluções ótimas de P 1 e D 1 , respectivamente.Corolário 10.4. Se um dos problemas P 1 ou D 1 é ilimitado, o outro é inviável.Atividade 27. Mostre os dois Corolários anteriores.Atividade 28. Enuncie e demonstre o Teorema 10.2 para a forma padrão (problemas P 2 eD 2 ). Conclua que os dois Corolários anteriores valem também para a forma padrão.Contrariando as expectativas, se um dos problemas P 1 ou D 1 for inviável então não hágarantia de que o outro seja ilimitado, como mostra o próximo exemplo.Exemplo 10.2.1. [1] Considere o PL primale seu dualmin −x 1 −x 2s.a. x 1 −x 2 ≥ 1−x 1 +x 2 ≥ 1x 1 , x 2 ≥ 0max w 1 +w 2s.a. w 1 −w 2 ≤ −1−w 1 +w 2 ≤ −1w 1 , w 2 ≥ 0O PL primal é inviável pois x 1 − x 2 ≥ 1 e x 1 − x 2 ≤ −1. Mas note que pelo mesmo motivoo dual é também inviável.Teorema 10.5 (da Dualidade Forte). Se um dos problemas P 1 ou D 1 admitir solução ótima,então o outro também admite. Neste caso os valores ótimos das FO’s do primal e do dual sãoiguais.