Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 10. DUALIDADE 104Demonstração. Suponha que x seja solução ótima de P 1 . A condição (10.1) vale pois x é primalviável. Pelo Teorema da Dualidade Forte existe w solução ótima do dual D 1 de P 1 . Temosentão wA ≤ c, w ≥ 0, e fazendo v = c − wA vem (10.2). A condição (10.3) segue do Teoremadas Folgas Complementares.Reciprocamente, seja (x, w, v) satisfazendo as condições KKT. De (10.1), x é viável parao primal P 1 e de (10.2), w é viável para o dual D 1 (v = c − wA são as folgas das restriçõesduais). Da condição (10.3) segue quecx = wAx = wb.Do Corolário 10.3 concluímos que x é solução ótima de P 1 .10.3.2 Condições KKT para restrições de igualdadeConsidere o PL na forma padrãoP 2 : min cxs.a. Ax = bx ≥ 0.Como vimos, neste caso w é viável para o dual D 2 de P 2 se wA ≤ c e w irrestrito. Note quew(Ax−b) = 0 para pois Ax−b = 0. As condições KKT para o problema P 2 na forma padrãosãoAx = b, x ≥ 0wA + v = c, w irrestrito, v ≥ 0vx = 0.Atividade 30. Mostre que as condições KKT são necessárias e suficientes para otimalidadena forma padrão. Imite a demonstração do Teorema 10.8.10.3.3 Interpretação geométrica das condições KKTVamos dar uma interpretação geométrica das condições KKT para a forma canônica, ondeas restrições são de desigualdade.Seja x um ponto viável de P 1 . As condições de folga complementar (10.3) dizem que• se a i-ésima restrição primal não for ativa em x, isto é, se a i x > b i então o multiplicadorde Lagrange correspondente é zero, ou seja, w i = 0;• se x j > 0 então v j = 0.Sejam os conjuntos I e J dos índices das restrições ativas em x relativas à Ax ≥ b e x ≥ 0,respectivamente:I = {i; a i x = b i } e J = {j; x j = 0}.Assim w i = 0, ∀i /∈ I, e v j = 0, ∀j /∈ J. Portanto as condições (10.2) se resumem a∑w i a i + ∑ v j e j = c,i∈Ij∈Jw i ≥ 0, i ∈ I,v j ≥ 0, j ∈ J,