Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 10. DUALIDADE 105onde a i é linha i de A e e j o j-ésimo canônico de R n . Isso quer dizer precisamente que c estáno cone gerado pelos gradientes das restrições ativas em x, onde a i é o gradiente de a i x ≥ b i ee j e gradiente de x j ≥ 0.Somos levados à seguinte interpretação geométrica: x é solução ótima de P 1 se, e somentese, c está no cone gerado pelos gradientes das restrições ativas em x.Exemplo 10.3.1. [1] Considere o PL na forma canônicaOs gradientes da FO e restrições sãomin −x 1 −3x 2s.a. x 1 −2x 2 ≥ −4−x 1 −x 2 ≥ −4x 1 , x 2 ≥ 0c = (−1, −3)a 1 = (1, −2)a 2 = (−1, −1)e 1 = (1, 0)e 2 = (0, 1).Consideremos os quatro pontos extremos da região viável (veja Figura 10.1):1. (0, 0): as restrições ativas são x 1 , x 2 ≥ 0. Da figura, vemos que c /∈ cone {e 1 , e 2 } e logo(0, 0) não é ótimo;2. (0, 2): as restrições ativas são x 1 − 2x 2 ≥ −4 e x 1 ≥ 0. Da figura, c /∈ cone {a 1 , e 1 } e logo(0, 2) não é ótimo;3. (4/3, 8/3): as restrições ativas são x 1 − 2x 2 ≥ −4 e −x 1 − x 2 ≥ −4. Da figura, temosc ∈ cone {a 1 , a 2 } e logo (4/3, 8/3) é ótimo;4. (4, 0): as restrições ativas são −x 1 − x 2 ≥ −4 e x 2 ≥ 0. Da figura, vemos que c /∈cone {a 2 , e 2 } e logo (4, 0) não é ótimo;Seja x = (4/3, 8/3). Vamos verificar que existem w, v tais que (x, w, v) satisfazem ascondições KKT. Como x 1 , x 2 > 0, das condições de folga complementar devemos ter v 1 = v 2 = 0.Assim w deve ser tal que c−wA = v = 0, ou seja, w 1 −w 2 = −1 e −2w 1 −w 2 = −3. Resolvendoobtemos w 1 = 2/3 e w 2 = 5/3. Note que w ≥ 0 e Ax = b, e logo w(Ax − b) = 0. Assim, ascondições (10.1), (10.2) e (10.3) são satisfeitas por (x, w, v), e x é ótimo.Você pode ainda verificar geometricamente que (4/3, 8/3) é ótimo pela Figura 10.1.