Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 10. DUALIDADE 1091.(INICIALIZAÇÃO) Encontre uma base B do problema primal que seja dual viável, ouseja, tal que z j − c j ≤ 0 para todo j.2. (PASSO PRINCIPAL)(a) Calcule b r = min {b i }. Se b r ≥ 0 então pare com a solução primal ótima (neste casotemos b = B −1 b ≥ 0). Caso contrário vá para o próximo passo.(b) Se y rj ≥ 0 para todo j então pare com a conclusão de que o dual é ilimitado e oprimal inviável. Caso contrário vá para o próximo passo.(c) x Br sai da base. x k entra na base sendo k de modo que{ }z k − c k zj − c j= min ; y rj < 0 .y rky rjAtualize o QS realizando pivoteamento no pivô y rk e repita o passo 2.Exemplo 10.4.1. Considere o PLmin 2x 1 +3x 2 +4x 3s.a. x 1 +2x 2 +x 3 ≥ 32x 1 −x 2 +3x 3 ≥ 4x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0Inserindo variáveis de folga x 4 e x 5 e multiplicando as duas primeiras restrições por −1 obtemoso PLmin 2x 1 +3x 2 +4x 3s.a. −x 1 −2x 2 −x 3 +x 4 = −3−2x 1 +x 2 −3x 3 +x 5 = −4x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0A base I = [ a 4a 5]é dual viável pois para j = 1, 2, 3 temosApliquemos então o Simplex Dual.z j − c j = c I Ia j − c j = −c j < 0.z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHSz 1 −2 −3 −4 0 0 0x 4 0 −1 −2 −1 1 0 −3x 5 0 −2 1 −3 0 1 −4z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHSz 1 0 −4 −1 0 −1 4x 4 0 0 −5/2 1/2 1 −1/2 −1x 1 0 1 −1/2 3/2 0 −1/2 2z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHSz 1 0 0 −9/5 −8/5 −1/5 28/5x 2 0 0 1 −1/5 −2/5 1/5 2/5x 1 0 1 0 7/5 −1/5 −2/5 11/5No último QS temos b ≥ 0 e z j − c j ≤ 0 para todo j, e portanto é primal ótimo. A soluçãoótima encontrada do problema original é x = (11/5, 2/5, 0) com FO 28/5.