Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE ANÁLISE CONVEXA 48chamado de cone finitamente gerado (por a 1 , . . . , a k ). Em outras palavras, cone {a 1 , . . . , a k }é o conjunto das semi-retas emanando da origem nas direções a 1 , . . . , a k e suas combinaçõesnão negativas. Note que assim é suficiente as direções extremas para caracterizar um conefinitamente gerado.Figura 6.4: Cone gerado por (0, 1) e (1, 1) [1]Atividade 11. Mostre que cone {a 1 , . . . , a k } é de fato um cone.Atividade 12. Mostre que se cada a i não é uma combinação não negativa de a 1 , . . . , a k , excetoa trivial a i = 1a i , então todo a i é direção extrema de cone {a 1 , . . . , a k }. Mais ainda, mostreque neste caso as únicas direções extremas são a 1 , . . . , a k , descartando seus múltiplos positivos.Dica: mostre que toda direção de um cone pertence ao próprio cone, e que todo elemento nãonulo do cone é direção.Atividade 13. Mostre que o conjunto das direções de {x; Ax ≤ b, x ≥ 0}, descrito noTeorema 6.1, unido com o vetor nulo é um cone. Este cone é chamado cone de recessão.6.2 Funções convexas e côncavasUma função f : D ⊂ R n → R é dita ser convexa se para todos x 1 , x 2 ∈ D e λ ∈ [0, 1] temosf(λx 1 + (1 − λ)x 2 ) ≤ λf(x 1 ) + (1 − λ)f(x 2 ).Da mesma forma, uma função f : D ⊂ R n → R é dita ser côncava se −f é convexa, ou seja,f(λx 1 + (1 − λ)x 2 ) ≥ λf(x 1 ) + (1 − λ)f(x 2 ), ∀x 1 , x 2 ∈ D, ∀λ ∈ [0, 1].Geometricamente, o segmento que liga os pontos (x 1 , f(x 1 )) e (x 2 , f(x 2 )) do gráfico de f deuma função convexa está acima da curva sobre o gráfico de f, resultado da projeção verticaldeste segmento. Já para uma função côncava, este segmento está abaixo (veja figura 6.5).