Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 11. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 121• Como {x ∈ R n ; Ax = b, x ≥ 0, x ∈ Z n } ⊂ {x ∈ R n ; Ax = b, x ≥ 0}, o valor ótimo dePL é um limitante inferior para o valor ótimo de PI. Dizemos que PL é a relaxação linearde PI;• Se x é uma solução ótima de PL e x ∈ Z n então x é também uma solução ótima de PIpois, para todo y viável para PI, o item anterior garante que cx ≤ cy.Com isso, nossa estratégia para resolução de PI será a seguinte: resolvemos a relaxaçãolinear de PI. Se a solução ótima for toda inteira, então PI estará também resolvido. Casocontrário, inserimos uma restrição no PL de modo a descartar a solução ótima não inteiracorrente, mas não uma solução inteira. Repetimos esse processo até que uma solução ótimainteira do problema relaxado seja encontrada. Tal procedimento é conhecido como método dosplanos de corte. Vejamos então como gerar tais restrições.Suponha que tenhamos resolvido a relaxação linear de PI, onde a solução encontrada não étoda inteira. Como x N ∈ Z n−m então b = x B /∈ Z m , digamos, b r = x Br /∈ Z. A linha da VBx Br do QS ótimo fornecex Br + ∑ y rj x j = b r . (11.5)j∈RPara um dado z ∈ R, definimos sua parte inteira ⌊z⌋ como o maior inteiro menor do que ouigual a z. Por sua vez, a parte fracionária de z é definida como z − [z]. Você pode ver que0 ≤ z − ⌊z⌋ < 1. Pois bem, consideremos as partes fracionárias de y rj e de b r :f rj = y rj − ⌊y rj ⌋ e f r = b r − ⌊b r ⌋.Temos 0 ≤ f rj < 1 e, como b r /∈ Z, 0 < f r < 1. Da equação (11.5) segue portanto quex Br + ∑ j∈R⇒x Br + ∑ j∈R(f rj + ⌊y rj ⌋) x j = f r + ⌊b r ⌋⌊y rj ⌋x j − ⌊b r ⌋ = f r − ∑ j∈Rf rj x j .Nosso intuito é obter soluções inteiras. Observe que o membro esquerdo da última equação éinteiro se a solução é inteira. Obrigamos-o então a ser inteiro, e portanto queremos quef r − ∑ j∈Rf rj x j ∈ Z.Agora, afirmamos que f r − ∑ j∈R f rjx j < 1. De fato, se fosse o contrário teríamosf r ≥ 1 + ∑ j∈Rf rj x j ≥ 1pois f rj , x j ≥ 0 para todo j ∈ R. Isso contraria o fato de f r < 1. Assim, juntamente com aimposição de integralidade que fizemos, devemos satisfazer a restriçãof r − ∑ j∈Rf rj x j ≤ 0.Essa restrição é chamada Corte de Gomory. É ela que iremos adicionar ao PL. Observe que nasolução corrente, x j = 0 para todo j ∈ R e f r > 0, o que viola o Corte de Gomory. Portantode fato descartamos a solução corrente não inteira.Para exemplificar, consideremos o problema