Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 8. MÉTODO SIMPLEX: INICIALIZAÇÃO E CICLAGEM 84QS 5:QS 6:z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHSz 1 −3 0 2 0 0 −4x 4 0 2 0 −1 1 0 1x 2 0 1 1 −1 0 0 2x 5 0 −1 0 1 0 1 1z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHSz 1 −1 0 0 0 −2 −6x 4 0 1 0 0 1 1 2x 2 0 0 1 0 0 1 3x 3 0 −1 0 1 0 1 1QS 6 é ótimo. Observe que no fim da Fase 1, a linha de z é exatamente a que obtivemos noExemplo anterior. A Fase 2 procede de maneira exatamente igual.Atividade 23. Você pode perceber no Exemplo anterior que ao adicionarmos a linha de z logona Fase 1 e realizarmos pivoteamentos, ao fim da Fase 1 essa linha já está correta para inícioda Fase 2. Mostre que quando x 0 = 0 e todas as variáveis artificiais saem da base, a linha de zjá está correta para início da Fase 2, ou seja, após pivoteamentos, no fim da Fase 1 os valoresz j − c j estão corretos.8.2 Degeneração: ciclagem no SimplexNo Capítulo 7 discutimos o método Simplex supondo ausência de degeneração. Na ocasião,o Simplex sempre termina, pois a FO diminui a cada pivoteamento. Vamos ver aqui o que adegeneração de uma solução básica viável pode ocasionar no Simplex.Lembre-se que uma solução básica viável[ ] [ ]xB B=−1 b≥ 0x N 0é degenerada se x Bi = 0 para algum índice básico i (Definição 7.2, página 54). Deste modo ométodo Simplex pode ciclar, ou seja, a partir de um certo QS, voltar ao mesmo QS depois deuma sequência finita de pivoteamentos. Assim, o método realiza sempre a mesma sequência depivoteamentos e entra num laço infinito.Mais precisamente, o processo de ciclagem pode ocorrer quando há mais de uma base para omesmo vértice. Da Atividade 19 (página 56), isso só ocorre quando o vértice (ou, pelo Teorema7.3 da página 55, a solução básica viável) é degenerada. Quando o vértice é não degenerado,há somente uma base associada.Atividade 24. Mostre que se x é vértice não degenerado de {x; Ax = b, x ≥ 0} então existesomente uma base associada a x.O exemplo a seguir ilustra o processo de ciclagem.Exemplo 8.2.1. [1] Considere o PL, devido a Beale,min −3/4x 4 +20x 5 −1/2x 6 +6x 7s.a. x 1 +1/4x 4 −8x 5 −x 6 +9x 7 = 0x 2 +1/2x 4 −12x 5 −1/2x 6 +3x 7 = 0x 3 +x 6 = 1x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0