Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE ANÁLISE CONVEXA 50Teorema 6.3. Seja x um ponto do conjunto poliedralD = {x ∈ R n ; Ax ≤ b}.Então x é vértice de D se, e somente se, a matriz com linhas a i = e i A, i ∈ I(x) = {i; a i x = b i },tem posto n.Ou seja, x é vértice de D se, e somente se, a matriz formada pelas linhas de A relativas àsrestrições ativas em x tem posto n.Demonstração. [6] Denotando o conjunto dos índices das restrições ativas em x por I = I(x),consideramos as matrizes A I e b I , cujas linhas são as de A e b com índices em I.Suponhamos que a matriz quadrada A I tem posto n, e que x não seja vértice de D. Entãopara certos x 1 , x 2 ∈ D\{x} com x 1 ≠ x 2 e λ ∈ (0, 1) temosPois bem, temosx = λx 1 + (1 − λ)x 2 .0 = A I x − b I = A I (λx 1 + (1 − λ)x 2 ) − b I = λ(A I x 1 − b I ) + (1 − λ)(A I x 2 − b I ).Como A I x 1 − b I ≤ 0, A I x 2 − b I ≤ 0, λ > 0 e 1 − λ > 0, devemos terA I x 1 − b I = 0 e A I x 2 − b I = 0.Logo A I (x 1 − x 2 ) = 0, e como A I tem posto n, o sistema anterior admite somente a soluçãonula. Daí x 1 = x 2 , um absurdo. Isso mostra que x é vértice de D.Reciprocamente, suponhamos que x seja vértice de D e que A I tenha posto menor que n.Então o sistema A I y = 0 admite uma solução não trivial, digamos x ≠ 0. LogoA I (x + tx) = A I x = b I , ∀t ≥ 0.Como para i /∈ I temos a i x < b i , para todo t > 0 suficientemente pequeno obtemosa i (x ± tx) = a i x ± ta i x < b i , ∀i /∈ I.Concluímos que para todo t > 0 suficientemente pequeno, temos A(x ± tx) ≤ b, ou seja,x ± tx ∈ D. Por outro lado,x = x + tx + x − tx .2 2Isso contradiz o fato de x ser vértice, e logo A I tem posto n.Corolário 6.4. O número de vértices de um conjunto poliedral é finito.Demonstração. Podemos transformar qualquer conjunto poliedral na forma do teorema anterior.Como o número de combinações de n linhas da matriz A é finito, pelo Teorema anterioros vértices de um conjunto poliedral são em número finito.Corolário 6.5. O número de direções extremas (normalizadas) de um conjunto poliedral éfinito.Demonstração. Supomos sem perda de generalidade que o conjunto poliedral seja da formaD = {x; Ax ≤ b, x ≥ 0}. Se D for vazio, o número de direções é zero. Suponhamos que D ≠ ∅.Pelo Teorema 6.1, d é direção de D, e somente se, d ∈ {d; d ≥ 0, Ad ≤ 0}\{0}. Supomos asdireções de D unitárias em relação à norma da soma, ou seja, tais que |d 1 | + · · · + |d n | = 1.