Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

Capítulo 4Espaços VetoriaisDefinição 4.1. Um espaço vetorial é constituído de um conjunto V , cujos elementos são chamadosvetores, no qual estão definidas duas operações: a soma (ou adição) que leva um parde vetores (u, w) ∈ V × V a um vetor u + w ∈ V , e a multiplicação por escalar, que leva umpar (a, u) ∈ R × V a um vetor au ∈ V tais que, para quaisquer a, b ∈ R e u, v, w ∈ V , sãosatisfeitas as propriedades (ou axiomas de espaço vetorial):(i) u + w = w + u (comutatividade)(ii) (u + v) + w = u + (v + w) e (ab)u = a(bu) (associatividade)(iii) existe um vetor 0 ∈ V , chamado vetor nulo tal que u + 0 = 0 + u = 0, para todo u ∈ V(existência de vetor nulo)(iv) (a + b)u = au + bu e a(u + w) = au + aw (distributividade)(v) 1 · u = u (multiplicação por 1)(vi) para todo u ∈ V , existe um vetor −u ∈ V tal que u + (−u) = 0 (inverso aditivo)O único espaço vetorial que usaremos ao longo do texto é o espaçoR n = {(x 1 , . . . , x n ); x i ∈ R ∀i}com as operações usuais (x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ) e a(x 1 , . . . , x n ) =(ax 1 , . . . , ax n ).4.1 Subespaços vetoriaisDefinição 4.2. Dado um espaço vetorial V , um subconjunto W ⊂ V é um subespaço vetorialde V se(i) u + v ∈ W para todos u, v ∈ W (W é fechado para a soma)(ii) au ∈ W para todos a ∈ R e u ∈ W (W é fechado para multiplicação por escalar)Naturalmente, as operações em W são as mesmas de V . Assim, um subespaço vetorial Wde V é ele mesmo um espaço vetorial com as operações herdadas de V . Observe ainda que ovetor nulo de W é o vetor nulo de V .Exemplo 4.1.1. Dado um espaço vetorial V , são subespaços vetoriais triviais de V os subconjuntos{0} e o próprio V .24