Parte IIProgramação <strong>Linear</strong>33
Capítulo 5IntroduçãoProblemas <strong>de</strong> programação linear consistem em otimizar (minimizar ou maximizar) umafunção linear, chamada função objetivo, sujeita a um conjunto <strong>de</strong> equações ou inequações lineares,chamadas restrições. O estudo <strong>de</strong>sse tipo <strong>de</strong> problema <strong>de</strong> otimização é importante, tantopor razões históricas, quanto por sua aplicabilida<strong>de</strong>. Aparece em situações reais da indústria,por exemplo, e também em métodos <strong>de</strong> resolução <strong>de</strong> problemas <strong>de</strong> otimização mais gerais, comfunção objetivo e/ou restrições não lineares. Foi também um gran<strong>de</strong> impulsionador da pesquisaem otimização/pesquisa operacional. Para um apanhado histórico <strong>de</strong>sses problemas, consultelivros sobre o assunto, por exemplo [1].Adotaremos o termo “programação linear” para problemas com variáveis reais. Quandoquisermos nos referir a problemas com variáveis inteiras, diremos problemas <strong>de</strong> programaçãointeira. Mais ainda, quando houverem variáveis reais e inteiras no mesmo problema, diremostratar-se <strong>de</strong> um problema <strong>de</strong> programação inteira mista.Qualquer problema <strong>de</strong> programação linear po<strong>de</strong> ser posto da seguinte forma:min c 1 x 1 + c 2 x 2 + · · · + c n x ns.a. a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n ≥ b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n ≥ b 2a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n ≥ b mx 1 , x 2 , . . . , x n ≥ 0Aqui, c 1 x 1 + c 2 x 2 + · · · + c n x n é a função objetivo (FO), x 1 , x 2 , . . . , x n são as variáveis <strong>de</strong><strong>de</strong>cisão a serem <strong>de</strong>terminadas, e c 1 , c 2 , . . . , c n são os coeficientes <strong>de</strong> custo. A <strong>de</strong>sigualda<strong>de</strong>a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a in x n ≥ b i é a i-ésima restrição. As restrições x 1 , x 2 , . . . , x n ≥ 0 sãochamadas restrições <strong>de</strong> não negativida<strong>de</strong>. Um ponto (x 1 , . . . , x n ) que satisfaz todas as restriçõesé chamado <strong>de</strong> solução. Ao conjunto <strong>de</strong>sses pontos, damos o nome <strong>de</strong> conjunto viável, regiãoviável ou região <strong>de</strong> viabilida<strong>de</strong>. A expressão s.a. significa “sujeito a”, min significa “minimizar”enquanto maximizar é indicado por max.Naturalmente, o objetivo do problema é encontrar uma solução na qual a função objetivoatinge seu mínimo, quando houver. Uma solução <strong>de</strong>ssas é chamada solução ótima 1 .Em forma matricial, escrevemos.min cxs.a. Ax ≥ bx ≥ 0(5.1)1 Esse mínimo, quando < ∞, é sempre atingido pois a região viável é fechada e a FO contínua.34