Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 7. O MÉTODO SIMPLEX 647.7 O método Simplex em formato de QuadroSuponha que tenhamos uma solução básica viável x com base B. Pelo que vimos, podemosescrever o PL (7.1) comoAssim,min zs.a. z − c B x B − c N x N = 0Bx B + Nx N = bx B , x N ≥ 0.x B + B −1 Nx N = B −1 b. (7.7)Multiplicando a equação acima por c B e somando a primeira restrição do PL, obtemosz + 0x B + (c B B −1 N − c N )x N = c B B −1 b. (7.8)Representamos as equações (7.7) e (7.8) em um quadro, como segue. Colocamos a equação(7.8) relativa à FO z na primeira linha do quadro (linha 0), onde os coeficientes de z, x B e x Nsão organizados em colunas. O lado direito da igualdade, c B B −1 b é colocado na última coluna,denominada RHS (em inglês, Right-Hand-Side). As m outras linhas (linhas 1 à m) contidas naequação (7.7) vêm logo abaixo, seguindo a mesma separação em colunas. O Quadro Simplex éentão organizado da seguinte forma:z x B x N RHSz 1 0 c B B −1 N − c N c B B −1 bx B 0 I B −1 N B −1 bObservamos que o quadro acima contém todas as informações para execução do Simplex:na linha 0, a coluna j de x N é(c B B −1 N − c N )e j = c B B −1 a j − c j = z j − c je RHS consiste no valor corrente da FO, z 0 = c B B −1 b; o bloco B −1 N é exatamente formadopelas colunas y k = B −1 a k . Portanto, através do quadro conseguimos dizer se a solução básicaviável corrente é ótima (c B B −1 N − c N ≤ 0), ou se o problema é ilimitado (y k ≤ 0 quando x kentra na base).Agora, vamos analisar o processo de entrada e saída de variáveis da base pelo quadro.Lembrando que b = B −1 b, reescrevemos o quadro como seguez x B1 . . . x Br . . . x Bm . . . x j . . . x k . . . RHSz 1 0 . . . 0 . . . 0 . . . z j − c j . . . z k − c k . . . c B bx B1 0 1 . . . 0 . . . 0 . . . y 1j . . . y 1k . . . b 1. . . . ....x Br 0 0 . . . 1 . . . 0 . . . y rj . . . y rk . . . b r. . . . ....x Bm 0 0 . . . 0 . . . 1 . . . y mj . . . y mk . . . b mTabela 7.1: Quadro Simplex.