Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

Capítulo 6Elementos de Análise Convexa6.1 Conjuntos convexos, pontos extremos, semi-espaçose direçõesUm conjunto D ⊂ R n é dito convexo se para cada quaisquer x 1 , x 2 ∈ D, tem-se queλx 1 + (1 − λ)x 2 ∈ D para todo λ ∈ [0, 1], ou seja, o segmento que liga x 1 e x 2 está contido emD.Figura 6.1: Conjunto convexo (esquerda) e não convexo (direita)Dizemos que x = λx 1 + (1 − λ)x 2 com λ ∈ [0, 1] é uma combinação convexa de x 1 e x 2 .Quando λ ∈ (0, 1), a combinação é estrita. De maneira geral, uma combinação convexa dospontos x 1 , . . . , x k é uma soma do tipok∑λ i x i ,i=1λ i ≥ 0, ∀i,k∑λ i = 1.i=1Dado qualquer conjunto E ⊂ R n , o fecho convexo de E, denotado por conv E, é o menorconjunto convexo que contém E. Equivalentemente, conv E é a interseção de todos os conjuntosconvexos em R n que contêm E 1 . Cabe observar que conv E é precisamente o conjunto de todasas combinações convexas de finitos pontos de E. Mais ainda, o Teorema de Carathéodory (nãoenunciado aqui) garante que é suficiente os conjuntos com n + 1 pontos para descrever conv E.Exemplo 6.1.1. São conjuntos convexos:• {(x 1 , x 2 ); x 2 1 + x 2 2 ≤ 1}.• {x; Ax = b}, onde A é m × n.• {x; Ax = b, x ≥ 0}, onde A é m × n.1 A interseção de uma família qualquer de conjuntos convexos é convexa.45