Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 7. O MÉTODO SIMPLEX 68Exemplo 7.7.1. [1] Resolver pelo simplex (via quadros) o PLNa forma padrão, temos o PLmin x 1 +x 2 −4x 3s.a. x 1 +x 2 +2x 3 ≤ 9x 1 +x 2 −x 3 ≤ 2−x 1 +x 2 +x 3 ≤ 4x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0min x 1 +x 2 −4x 3 +0x 4 +0x 5 +0x 6s.a. x 1 +x 2 +2x 3 +x 4 = 9x 1 +x 2 −x 3 +x 5 = 2−x 1 +x 2 +x 3 +x 6 = 4x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ≥ 0Como b ≥ 0, iniciamos com a baseB = [ a 4 a 5 a 6]= I3 ,pois assim, x B = B −1 b = b ≥ 0, e a solução básica associada é viável. Temos c B = 0 e logoTambém, B −1 N = N,z j − c j = c B B −1 a j − c j = −c j , ∀j ∈ R = {1, 2, 3}.b = B −1 b = b e z 0 = c B b = 0. Assim o QS inicial (QS 1) éz x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHSz 1 −1 −1 4 0 0 0 0x 4 0 1 1 2 1 0 0 9x 5 0 1 1 −1 0 1 0 2x 6 0 −1 1 1 0 0 1 4Da linha zero, vemos que z 3 − c 3 = max j∈R {z j − c j } > 0, e logo x 3 entra. Da coluna de x 3 ,vemos que somente y 13 , y 33 > 0. Agora, com a coluna RHS, vemos queb 1y 13= 9 2 > 4 1 = b 3y 33e logo x B3 = x 6 sai. O pivô é portanto o elemento destacado y 33 , e após pivoteamento, obtemoso QS 2z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHSz 1 3 −5 0 0 0 −4 −16x 4 0 3 −1 0 1 0 −2 1x 5 0 0 2 0 0 1 1 6x 3 0 −1 1 1 0 0 1 4QS 2 não é ótimo (pois z 1 − c 1 > 0) e temos y 11 como pivô (verifique!). Pivoteando, obtemos oQS 3z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHSz 1 0 −4 0 −1 0 −2 −17x 1 0 1 −1/3 0 1/3 0 −2/3 1/3x 5 0 0 2 0 0 1 1 6x 3 0 0 2/3 1 1/3 0 1/3 13/3QS 3 é ótimo (pois da linha zero, z j − c j ≤ 0, ∀j ∈ {2, 4, 6}), e logo a solução corrente(x 1 , x 2 , x 3 ) = (1/3, 0, 13/3) é ótima, com FO −17 (observe que x 2 é VNB no QS 3, e logo valezero).