Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 11. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 115O restante do QS não se altera pois B −1 não muda. Assim a solução corrente ainda é primalviável. Se z ′ k − c k ≤ 0 então o QS atual ainda é primal ótimo, e a antiga solução básica viávelótima continua sendo ótima. Se por outro lado z ′ k − c k > 0 então o Simplex primal é aplicadocom a entrada da VNB x k na base.CASO II: a k é coluna básica. Como a k é uma das colunas da base B, após sua mudançapara a ′ k , é possível que a nova matriz B′ não seja mais invertível. Mesmo que isso não ocorra,ou seja, que B ′ seja base, pode ocorrer que toda coluna do QS mude, pois todas elas dependemde B ′−1 . Vejamos como essa mudança em a k , apesar de parecer desastrosa, pode ser tratada.Inserimos uma nova variável x ′ k no problema, com coluna a′ k e coeficiente na FO igual a c k.Isso equivale à inserção no QS da coluna[ ] [ z′k − c k cB B=−1 a ′ k − c ]kB −1 a ′ ,ky ′ krelativa à nova variável x ′ k (podemos usar o que foi discutido na subseção anterior para obterB −1 do QS corrente). Se o elemento y kk ′ da linha da VB x k e da coluna de x ′ k for não nulo,pivoteamos sobre y kk ′ para retirar x k da base e inserir x ′ k . É claro que obteremos uma novabase pois o pivoteamento garante isso. Com isso, a variável antiga x k pode ser eliminada doQS pois ela inexiste no PL alterado. Mas note que tanto viabilidade primal quanto dual podemser perdidas. Podemos no entanto restabelecer viabilidade primal ou dual inserindo variáveisartificiais e reotimizando. Por outro lado, se o pivoteamento sobre y kk ′ não for possível, isto é,se y kk ′ = 0 então a matriz das colunas básicas com a nova coluna de x k não forma uma base.Neste caso, eliminamos a variável x k do problema tratando-a como VB artificial e aplicando oMétodo de Duas Fases.Atividade 32. Complete o argumento acima mostrando que se y kk ′ = 0 a matriz das colunasbásicas com a nova coluna de x k não forma base.Dica: Volte à seção 7.4 e analise o argumento lá exposto para justificar que o pivoteamentopassa de uma base para outra. Escreva então a nova coluna a ′ k como combinação das outrascolunas a Bi , i ≠ k de B.Exemplo 11.1.3. [1] Considere o PL do Exemplo 11.1.1cujo QS ótimo émin −2x 1 +x 2 −x 3s.a. x 1 +x 2 +x 3 ≤ 6−x 1 +2x 2 ≤ 4x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0QS 0:z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHSz 1 0 −3 −1 −2 0 −12x 1 0 1 1 1 1 0 6x 5 0 0 3 1 1 1 10Como já discutido em Exemplo anterior, associado ao QS 0 está a base B cuja inversa é[ ] 1 0B −1 = .1 1Alteremos a coluna não básica a 2 = [ 1 2 ] tpara a′2 = [ 2 5 ] t. Temos y′2 = B −1 a ′ 2 =[2 7] te z′2 − c 2 = c B B −1 a ′ 2 − c 2 = −5. Como z ′ 2 − c 2 ≤ 0, QS 0 permanece primal ótimo enada há a fazer.