Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 11. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 126Novamente, vamos determinar o intervalo para o qual o QS acima permanece ótimo. Temosz 1 ′ −c ′ 1 = −2 e z 2 ′ −c ′ 2 = −1, e logo S = ∅. Assim, a base [ ]a 3 a 4 é ótima no intervalo [3, ∞).11.2.2 Perturbando bSuponha que o vetor b seja alterado para b + λb ′ , onde λ ≥ 0. Consideremos B uma baseótima do problema original, quando λ = 0. Temosz + (c B B −1 N − c N ) ≤ 0x B + B −1 Nx N = B −1 b,onde c B B −1 N − c N ≤ 0. Ao substituir b por b + λb ′ , o vetor c B B −1 N − c N não é afetado, elogo a viabilidade dual é mantida. Agora, o vetor B −1 b é alterado para B −1 (b+λb ′ ). A funçãoobjetivo passa a ser então c B B −1 (b + λb ′ ). A fim de manter otimalidade primal, devemos terB −1 (b + λb ′ ) ≥ 0, ou seja,B −1 b + λB −1 b ′ ≥ 0 ⇔ b + λb ′ ≥ 0 ⇔ λ(−b ′ i) ≤ b i , ∀i, (11.8)onde b ′ = B −1 b ′ . Seja S = {i; b ′ i < 0}. Vemos que se S = ∅ então B permanece ótima paratodo λ ≥ 0 pois neste caso λ(−b ′ i) ≤ 0 ≤ b i para todo i. Caso contrário, segue de (11.8) que Bcontinua ótima para todo λ ∈ [0, ˆλ] onde{ }ˆλ = minb i−b ′ i; i ∈ SExemplo 11.2.2. [1] Considere o PL do Exemplo anteriormin −x 1 −3x 2s.a. x 1 +x 2 ≤ 6−x 1 +2x 2 ≤ 6x 1 , x 2 ≥ 0Suponha que o vetor b = (6, 6) seja alterado para (6, 6) + λ(−1, 1), com λ ≥ 0. O PLoriginal (com λ = 0) tem QS ótimoz x 1 x 2 x 3 x 4 RHSz 1 0 0 −5/3 −2/3 −14x 1 0 1 0 2/3 −1/3 2x 2 0 0 1 1/3 1/3 4onde x 3 e x 4 são variáveis de folga. A fim de obter o intervalo [0, ˆλ] no qual a base correntepermanece ótima, calculamos[ ] [ ] [ ]b ′ 2/3 −1/3 −1 −1= B −1 b ′ == .1/3 1/3 1 0Temos S = {1} eˆλ = b 1−b ′ 1=.2−(−1) = 2.Assim, B = [ a 1 a 2]permanece ótima no intervalo [0, 2].