Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 7. O MÉTODO SIMPLEX 65Supomos que x k entra na base e que x Br sai da base. Vamos explicitar expressões para z epara as novas VB’s tal como em (7.7) e (7.8). Como x k passa a ser VB devemos explicitá-laem função das novas VNB’s, o que inclui x Br . Do quadro atual, temosx Br + ∑ j∈Ry rj x j = b r⇔ x Br + y rk x k +⇔ x k + 1y rkx Br +∑j∈R\{k}∑j∈R\{k}y rj x j = b ry rjy rkx j = b ry rk(7.9)onde lembramos que y rk > 0 e que o novo conjunto das VNB’s é (R\{k}) ∪ {B r }. Para asoutras VB’s, ou seja, para i ≠ r, temosx Bi + ∑ y ij x j = b i ⇔ x Bi + y ik x k + ∑y ij x j = b i .j∈RPor (7.9), substituímos x k para obter⎛x Bi + y ik⎝ b r− 1 x Br −∑y rk y rkj∈R\{k}⎞y rjx j⎠ +y rk⇔ x Bi + y ikb r − y ikx Br −y rk y rk(⇔ x Bi + − y )ikx Br +∑y rk∑j∈R\{k}j∈R\{k}∑j∈R\{k}y rjy rky ik x j +j∈R\{k}y ij x j = b i∑j∈R\{k}(y ij − y rjy rky ik)x j =y ij x j = b i(b i − y iky rkb r). (7.10)As equações (7.9) e (7.10) fornecem as linhas 1 a m do quadro após atualização da base. Quantoà linha zero (7.8),z + 0x B + ∑ j∈R(z j − c j )x j = c B b,substituímos x k proveniente de (7.9) para obterz+ ∑ j∈R(z j − c j )x j = c B b⇔ z + (z k − c k )x k +⇔ z + (z k − c k )⎛∑j∈R\{k}⎝ b ry rk− 1y rkx Br −(z j − c j )x j = c B b∑j∈R\{k}⇔ z + (z k − c k ) b ry rk− z k − c ky rkx Br − ∑⇔ z +(− z )k − c kx Br +y rk∑j∈R\{k}⎞y rjx j⎠ +y rk∑j∈R\{k}(z j − c j )x j = c B b∑(z k − c k ) y rjx j +y rkj∈R\{k}j∈R\{k}((z j − c j ) − (z k − c k ) y )rjx j =y rk(z j − c j )x j = c B b(c B b − (z k − c k ) b ry rk)(7.11)Definidas as variáveis x k de entrada e x Br de saída, o termo y rk é chamado pivô. Aoprocesso de mudança de base, chamamos de pivoteamento. Nos referimos ao Quadro Simplexabreviadamente por QS. As equações (7.9), (7.10) e (7.11) fornecem o QS após pivoteamento: