Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 3. DETERMINANTES 21Temos⎡∆ 11 = (−1) 1+1 det ⎣⎡∆ 14 = (−1) 1+4 det ⎣2 1 20 3 40 1 −10 2 11 0 32 0 1⎤⎤⎦ = 1 · 2 · (−1) 1+1 det⎦ = (−1) · 2 · (−1) 1+2 det[ 3 41 −1[ 1 32 1]= −14,]= −10,e logo det A = −14 + 10 = −4.Exemplo 3.1.4. Se uma matriz quadrada R de ordem n tem uma linha nula então det R = 0.De fato, digamos que tal linha seja a k. Daí, det R = 0∆ k1 + 0∆ k2 + · · · + 0∆ kn = 0.O mesmo ocorre se R tem uma coluna nula.Teorema 3.3. (i) det E = k onde E é a matriz elementar relativa à operação L i → kL i ;(ii) det E = −1 onde E é a matriz elementar relativa à operação L i ↔ L j (i ≠ j);(iii) det E = 1 onde E é a matriz elementar relativa à operação L i → L i + kL j (i ≠ j).Teorema 3.4. Seja A uma matriz de ordem n e E uma matriz elementar também de ordemn. Entãodet(EA) = det E · det A.Teorema 3.5. Seja A uma matriz de ordem n.inversível.Então det A ≠ 0 se, e somente se A é3.2 Propriedades dos determinantesSeja A uma matriz de ordem n. São fatos sobre determinantes:1. Se A tem uma linha (ou coluna) nula, então det A = 0.2. det A = det A t .3. Seja B = e(A), onde e é a operação elementar L i → kL i . Então det B = k det A.4. Seja B = e(A), onde e é a operação elementar L i ↔ L j (i ≠ j). Então det B = − det A.5. Seja B = e(A), onde e é a operação elementar L i → L i + kL j (i ≠ j). Então det B =det A.6. det(AB) = det A · det B.7. Se A é inversível então det A −1 = 1det A .8. Se A tem duas linhas iguais i e j (i ≠ j) então det A = 0. O mesmo resultado se aplicaquando A tem duas colunas iguais.