Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 5. INTRODUÇÃO 36Por outro lado, uma restrição do tipo ∑ nj=1 a ijx j ≥ b i pode ser reescrita comon∑a ij x j − x n+1 = b i , x n+1 ≥ 0.j=1Reciprocamente, uma restrição de igualdade ∑ nj=1 a ijx j = b i é equivalente às restrições dedesigualdade ∑ nj=1 a ijx j ≥ b i e ∑ nj=1 a ijx j ≤ b i .5.1.2 Restrições de não negatividadeSe uma variável é irrestrita, ou seja, se x j pode variar em todo R, podemos substituí-la porx j ′ − x ′′j onde x j aparece, e temos x ′ j, x ′′j ≥ 0. Note que assim x ′ j − x ′′j pode variar em todo R.Atividade 4. Mostre que R = {x ′ j − x ′′j ; x ′ j, x ′′j ≥ 0}.Se x j ≥ l j , então a nova variável x ′ j = x j − l j é não negativa. Assim, eliminamos a restriçãox j ≥ l j e substituímos x j por x j = x ′ j + l j onde ela aparece.Se x j ≤ u j , então a nova variável x ′ j = u j −x j é não negativa. Assim, eliminamos a restriçãox j ≤ u j e substituímos x j por x j = u j − x ′ j onde ela aparece.5.1.3 Problema de maximizaçãoSe o objetivo do problema for maximizar a função cx, então podemos trocar seu objetivopor minimizar a função −cx, poismax {cx} = − min {−cx}Neste caso resolvido o problema de minimização, o valor da função objetivo original (do problemade maximização) estará multiplicado por −1. É claro que as soluções dos dois problemasserão as mesmas.5.1.4 Formas padrão e canônicaComo qualquer problema pode ser reescrito em diferentes formas, consideraremos duasformas úteis. Um problema de programação linear está na forma padrão se é escrito comomin cxs.a. Ax = bx ≥ 0e está na forma canônica se é escrito comooumax cxs.a. Ax = bx ≥ 0min cxs.a. Ax ≥ bx ≥ 0oumax cxs.a. Ax ≤ bx ≥ 0A forma padrão de minimização é de particular interesse no estudo do método de resoluçãoSimplex. Nesse trabalho adotaremos a minimização para o estudo do método. A formacanônica é adequada para uma interpretação geométrica, como a do Exemplo 5.0.1, e para oestudo das relações de dualidade.