Programaç˜ao Linear - Notas de aula - CEUNES

CAPÍTULO 6. ELEMENTOS DE ANÁLISE CONVEXA 52Em outras palavras, D é a soma do fecho convexo dos seus pontos extremos com o cone finitamentegerado pelas suas direções extremas (normalizadas), isto é,D = conv {x 1 , . . . , x k } + cone {d 1 , . . . , d l }.Exemplo 6.3.1. [1] Considere o conjunto poliedral D definido pelas inequações−3x 1 +x 2 ≤ −2−x 1 +x 2 ≤ 2−x 1 +2x 2 ≤ 8−x 2 ≤ −2x 1 , x 2 ≥ 0Figura 6.6: Geometria do exemploOs pontos extremos de D são x 1 = (4, 6), x 2 = (2, 4) e x 3 = (4/3, 2) (veja Figura 6.6). Oconjunto das direções normalizadas de D éS = {(d 1 , d 2 ); −3d 1 + d 2 ≤ 0, −d 1 + d 2 ≤ 0, −d 1 + 2d 2 ≤ 0, −d 2 ≤ 0, d 1 + d 2 = 1, d 1 , d 2 ≥ 0}.Os pontos extremos de S são d 1 = (2/3, 1/3), d 2 = (1, 0) (veja Figura 6.6), e essas são asdireções extremas normalizadas de D, de acordo com a demonstração do Corolário 6.5.Pelo Teorema da Representação, todo ponto x ∈ D é escrito da formax = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 + µ 1 d 1 + µ 2 d 2 , λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1, λ 1 , λ 2 , λ 3 , µ 1 , µ 2 ≥ 0.Por exemplo,Também,(4, 3) = 1 4 x 1 + 0x 2 + 3 4 x 3 + 0d 1 + 2d 2 .(4, 3) = 0x 1 + 1 2 x 2 + 1 2 x 3 + 0d 1 + 7 3 d 2.Isso mostra que a escrita do Teorema 6.6 não é única.Atividade 15. Mostre que o conjunto D = {x; px = k}, p ≠ 0, não tem nem pontos extremos.Porque isso não contradiz o Teorema da Representação de conjuntos poliedrais?6.4 Exercícios1. Fazer os seguintes exercícios do livro do Bazaraa [1]: 2.28, 2.29, 2.33, 2.37, 2.38, 2.39,2.41, 2.43, 2.44, 2.52.